Introduction et généralités (Élégante Nature)
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Élégante Nature by Benjamin Crowell
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Chapter 0 - Introduction et généralités
- La sonde Mars Climate Orbiter lors de sa préparation pour sa mission. Les lois de la physique sont les mêmes partout, y compris sur Mars, de telle sorte que la sonde a pu être conçue d'après les lois de la physique telles qu'elles ont été découvertes sur la Terre. Il y a malheureusement une autre raison de faire allusion à cet astronef dans la discussion de ce chapitre : il fut détruit lors de sa tentative d'entrée dans l'atmosphère martienne parce que les ingénieurs de Lockheed Martin omirent de convertir les données provenant des moteurs de propulsion, exprimées en livres, dans l'unité du système métrique de la force (en newton) avant de fournir les informations à la NASA. Les conversions sont primordiales !
Contents
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Introduction et Généralités
Si vous lâchez votre chaussure et une pièce de monnaie en même temps, elles frappent le sol au même instant. Pourquoi la chaussure n'arrive-t-elle pas la première, sachant que la gravité exerce une attraction plus forte sur elle ? Comment fonctionne le cristallin de votre {\oe}il, et pourquoi vos muscles oculaires ont-ils besoin de comprimer le cristallin selon des formes distinctes afin de se focaliser sur des objets situés à proximité ou lointains ? Ce sont le genre de questions que la physique s'attache à résoudre au sujet du comportement de la lumière et de la matière, les deux éléments qui composent l'Univers.
La méthode scientifique
Jusqu'à très récemment dans l'histoire, les avancées réalisées dans la réponse aux questions de ce type étaient inexistantes. Pire que cela, les réponses erronées rédigées par des savants tel que le physicien de la Grèce antique Aristote furent acceptées sans conditions durant des milliers d'années. Pourquoi cette connaissance scientifique a-t-elle progressé plus rapidement depuis la Renaissance qu'elle ne le fit durant tout le millénaire précédent, depuis le début des premières traces historiques ? Indubitablement, la révolution industrielle constitue une pièce du puzzle de la réponse. L'élaboration de sa pièce maîtresse, la machine à vapeur, nécessitait des techniques de pointe pour une construction et une mesure précises. (Auparavant, on considérait que c'était une avancée considérable lorsque les ateliers anglais d'usinage apprirent à construire des pistons et des cylindres qui s'ajustaient avec un espace plus fin que l'épaisseur d'une pièce d'un penny.) Mais même avant la révolution industrielle, l'allure des découvertes s'était accélérée, principalement grâce à l'introduction de la méthode scientifique moderne. Bien qu'elle ait évolué au cours du temps, la plupart des scientifiques s'accordent aujourd'hui sur quelque chose qui s'apparente à la liste suivante des principes fondamentaux de la méthode scientifique :
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\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(11.4mm,\paperheight-175.5mm)
\fig{thy-and-expt}{La science est un aller-retour permanent entre la théorie et l'expérience.}{}{ch00/figs}
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(1) La science est un aller-retour permanent entre la théorie et l'expérience. Les théories scientifiques sont produites pour expliquer les résultats d'expériences qui ont été menées sous certaines conditions. Une théorie à succès fera également des prédictions inédites concernant des nouvelles expériences menées sous des nouvelles conditions. Finalement, cependant, il semble qu'il se produise toujours qu'une nouvelle expérience survienne, montrant que sous certaines conditions la théorie n'est pas une bonne approximation ou n'est plus du tout valide. La balle rebondit alors dans le camp des théoriciens. Si une expérience est en désaccord avec la théorie du moment, cette théorie doit être changée, pas l'expérience.
(2) Les théories doivent à la fois prédire et expliquer. La nécessité de la puissance prédictive signifie qu'une théorie est significative seulement si elle prédit quelque chose qui peut être vérifié par le truchement de mesures expérimentales que le théoricien n'avait pas déjà en main. Autrement dit, une théorie doit être testable. La valeur explicative signifie que l'on doit rendre compte de nombreux phénomènes à l'aide de quelques principes élémentaires seulement. Si vous répondez à chaque question \og pourquoi {\fg} par \og parce que c'est ainsi {\fg}, alors votre théorie ne possède aucune valeur explicative. Le recueil d'une grande quantité de données sans même être capable de découvrir des principes élémentaires sous-jacents, n'est pas de la science.
(3) Les expériences doivent être reproductibles. Une expérience doit faire l'objet de soupçons si elle ne fonctionne que pour une personne, ou seulement dans une région du monde. Quiconque ayant les aptitudes et l'équipement requis doit être capable d'obtenir les mêmes résultats en effectuant la même expérience. Ceci implique que la science transcende les frontières nationales et éthiques, vous pouvez être certain que personne ne fait véritablement de la science s'il proclame que son travail est \og aryen, et non juif {\fg}, \og marxiste, et non bourgeois {\fg} ou \og chrétien, et non athée {\fg}. Une expérience ne peut pas être reproduite si elle est secrète, donc la science est nécessairement une {\oe}uvre publique.
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\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(154.4mm,\paperheight-255.5mm)
\fig{alchemy}{Un dessin satirique d'un laboratoire d'alchimiste. H. Cock, d'après un dessin de Pieter Bruegel l'Ancien (XVIème siècle).}{}{ch00/figs}
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En guise d'exemple sur le cycle entre théorie et expérience, une étape cruciale vers la chimie moderne fut franchie avec l'observation expérimentale que les éléments chimiques ne peuvent pas se transmuter les uns vers les autres, par exemple le plomb ne peut pas se transformer en or. Ceci conduit à la théorie qui stipule que les réactions chimiques sont constituées de réarrangements des éléments dans des combinaisons différentes, sans induire un quelconque changement dans l'identité des éléments eux-mêmes. Cette théorie fonctionna pendant des centaines d'années, et fut expérimentalement confirmée sur une large palette de pressions et de températures ainsi qu'avec de nombreuses combinaisons d'éléments. Ce n'est qu'au vingtième siècle que nous avons appris qu'un élément pouvait se transformer en un autre sous des conditions de pression et de température extrêmement élevées, qui prévalent dans une bombe nucléaire ou au sein d'une étoile. Cette observation n'infirma pas complètement la théorie d'origine sur l'immuabilité des éléments, mais elle montra que celle-ci ne constitue qu'une approximation, valide aux températures et pressions ordinaires.
self-check:
Un médium dirige des séances dans lesquelles les esprits des morts parlent aux participants. Il affirme qu'il a des pouvoirs psychiques exceptionnels que les autres personnes ne possèdent pas, ce qui lui permet de \og canaliser {\fg} les communications avec les esprits. Quelle partie de la méthode scientifique est violée ici ?
(answer in the back of the PDF version of the book)
La méthode scientifique telle qu'elle est décrite ici constitue une idéalisation, et ne devrait pas être appréhendée comme une marche à suivre pour faire de la science. Les scientifiques ont autant d'imperfections et de défauts que n'importe quel autre groupe d'individus, et il est très courant pour les scientifiques de tenter de discréditer les expériences faites par d'autres lorsque les résultats vont à l'encontre de leur propre point de vue préféré. La science qui connaît la prospérité a également plus de liens avec la chance, l'intuition et la créativité que ne l'imagine la majorité de gens, et les limitations de la méthode scientifique n'étouffent pas l'individualisme et la libre expression plus que la fugue et les structures sonates n'ont réprimé Bach et Haydn. Il y a une inclination récente chez les spécialistes des sciences humaines et sociales à aller encore plus loin et à renier même l'existence de la méthode scientifique, revendiquant que la science n'est rien de plus qu'un système social arbitraire qui détermine quelles idées doivent être acceptées en fonction de critères internes à ce groupe. Je pense que c'est exagéré. Si la science est un rituel social arbitraire, il semblerait difficile d'expliquer son efficacité dans la conception des choses aussi utiles que les avions, les lecteurs CD et les canalisations d'égout. Si l'alchimie et l'astrologie n'étaient pas moins scientifiques dans leurs méthodes par rapport à la chimie et l'astronomie, qu'est-ce qu'il les aurait empêchés de produire quoi que ce soit d'utile ?
”Discussion Questions”
withintro{Essayez d'estimer si la méthode scientifique est ou n'est pas appliquée dans les situations suivantes. Dans le cas où celle-ci n'est pas appliquée, les individus dont les actions sont décrites sont-ils en train d'effectuer une activité humaine utile, en dépit du fait qu'elle ne soit pas scientifique ?}
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L'acupuncture est une technique médicale traditionnelle d'origine asiatique, dans laquelle de fines aiguilles sont implantées dans le corps du patient afin de soulager la douleur. De nombreux médecins formés dans le monde occidental considèrent que l'acupuncture ne mérite pas une étude expérimentale parce que si elle avait des effets thérapeutiques, ceux-ci ne pourraient être expliqués par leurs théories du système nerveux. Qui a l'attitude la plus scientifique, les praticiens occidentaux ou orientaux ?
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Goethe, un poète allemand, est moins bien connu pour sa théorie des couleurs. Il publia un ouvrage sur ce sujet, dans lequel il argumentait que les dispositifs scientifiques pour la mesure et la quantification des couleurs, tels que les prismes, les lentilles et les filtres colorés, ne pouvaient pas nous fournir une compréhension totale de la signification ultime de la couleur, par exemple la sensation de froid évoquée par le bleu ou le vert ou les sentiments héroïques inspirés par le rouge. Son {\oe}uvre était-elle scientifique ?
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Un enfant se demande pourquoi les choses chutent vers le bas, et un adulte répond \og à cause de la gravité {\fg}. Le philosophe de la Grèce antique Aristote expliqua que les pierres tombent parce qu'il est dans leur nature de regagner leur emplacement naturel, au contact avec la terre. Ces explications sont-elles scientifiques ?
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Le bouddhisme est en partie une explication psychologique à la souffrance humaine, et la psychologie est bien évidemment une science. On pourrait dire que le Bouddha se soit livré à un aller-retour entre la théorie et l'expérience, puisqu'il a progressé par tâtonnements et erreurs, et il demanda même tardivement dans sa vie à ses disciples de défier ses pensées. Le bouddhisme pourrait également être considéré comme reproductible, puisque le Bouddha enseigna à ses disciples qu'ils pourraient parvenir eux-mêmes à l'illumination s'ils suivaient un certain itinéraire d'étude et de discipline. Le bouddhisme est-il une quête scientifique ?
Qu'est-ce que la physique ?
Une intelligence qui, pour un instant donné, connaîtrait toutes les forces dont la nature est animée, et la situation respective des êtres qui la composent [...] rien ne serait incertain pour elle, et l'avenir, comme le passé, seraient présents à ses yeux. -- Pierre Simon de Laplace
La physique est l'utilisation de la méthode scientifique afin de déceler les principes fondamentaux qui gouvernent la lumière et la matière, et de lever le voile sur les implications de ces lois. Ce qui distingue en partie la conception moderne de la pensée antique, c'est l'hypothèse qu'il existe des règles selon lesquelles l'Univers fonctionne, et que ces lois peuvent être au moins partiellement comprises par les êtres humains. Depuis le siècle des Lumières, et à travers le dix-neuvième siècle, de nombreux scientifiques commencèrent à être convaincus que les lois de la nature pouvaient non seulement être connues mais, comme l'affirma Laplace, que celles-ci pouvaient en principe être utilisées pour prédire quoi que ce soit concernant l'avenir de l'Univers, si une information exhaustive était disponible sur l'état présent de toute la lumière et la matière. Dans les sections qui suivent, je décrirai deux types généraux de limitations concernant les prédictions faites par le truchement des lois de la physique, lesquelles ne furent identifiées qu'au vingtième siècle seulement.
La matière peut être définie comme étant toute chose qui est affectée par la gravité, c'est-à-dire qui a un poids ou aurait un poids si elle était proche de la Terre ou d'une autre étoile ou planète suffisamment massive pour engendrer une gravité mesurable. La lumière peut être définie comme étant toute chose qui peut voyager d'un lieu à un autre à travers l'espace vide et qui peut influencer la matière, mais qui n'a pas de poids. Par exemple, la lumière du soleil peut agir sur votre corps en le réchauffant ou en endommageant votre ADN et vous transmettant ainsi le cancer de la peau. La définition physicienne de la lumière incorpore une grande diversité de phénomènes qui ne sont pas visibles pour l'{\oe}il, comprenant les ondes radio, les micro-ondes, les rayons X et les rayons gamma. Il se trouve que ce sont les \og couleurs {\fg} de la lumière qui ne se rangent pas dans la gamme étroite allant du violet au rouge, de l'arc-en-ciel que nous pouvons contempler.
self-check:
Au tournant du XXème siècle, un nouveau phénomène étrange fut mis au jour dans les tubes à vide : des rayons mystérieux d'origine et de nature inconnues. Ces faisceaux sont les mêmes que ceux qui sont projetés de l'arrière du tube de votre téléviseur et qui en frappent la façade afin de produire l'image. Les physiciens en 1895 n'avaient pas la moindre idée de ce pouvaient être ces rayons, ainsi ils les baptisèrent tout simplement \og rayons cathodiques {\fg}, du nom du contact électrique d'où ils jaillissaient. Un débat violent fit rage, accompagné de connotations nationalistes, afin de déterminer si ces rayons étaient une forme de lumière ou de matière. Qu'auraient-ils dû faire pour trancher cette question ?
(answer in the back of the PDF version of the book)
Un grand nombre de phénomènes physiques ne sont pas intrinsèquement de la lumière ou de la matière, mais sont des propriétés de la lumière ou de la matière ou des interactions entre la lumière et la matière. Par exemple, le mouvement est une propriété de toute la lumière et d'une partie de la matière, mais n'est pas lui-même lumière ou matière. La pression qui maintient un pneu de vélo gonflé est une interaction entre l'air et le pneu. La pression n'est pas une forme de matière par elle-même et en elle-même. Elle constitue tout autant une propriété du pneu que de l'air. De façon analogue, une communauté de s{\oe}urs et le monde du travail représentent des relations entre des individus mais ne constituent pas eux-mêmes des individus.
Certaines choses qui paraissent sans poids en ont un en réalité, et peuvent par conséquent être qualifiées de matière. L'air a un poids, et constitue donc une forme de matière bien qu'un centimètre carré d'air pèse moins qu'un grain de sable. Un ballon gonflé à l'hélium a un poids, mais celui-ci ne chute pas grâce à la force exercée par l'air environnant plus dense, qui le pousse vers le haut. Les astronautes en orbite autour de la Terre ont un poids, et sont en chute le long d'un arc incurvé, mais ils se déplacent si rapidement que l'arc courbé de leur trajectoire est suffisamment ample pour les emmener à effectuer tout le chemin autour de la Terre selon un cercle. Ils ont eux-mêmes l'impression d'être sans poids parce que leur capsule spatiale est en train de chuter avec eux, et par conséquent le plancher n'exerce pas de poussée sur leurs pieds.
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\fig{einsteins-ring}{Cette photo prise par un télescope montre deux images de la même source lointaine, un objet exotique, extrêmement lumineux, que l'on appelle quasar. On explique cela à l'évidence par le fait qu'un objet sombre et massif, probablement un trou noir, se trouve entre nous et lui. Les faisceaux lumineux, qui auraient sinon manqué la Terre, ont été courbés de chaque côté par la gravité de l'objet sombre, de telle sorte qu'ils nous parviennent. La véritable direction du quasar se trouve vraisemblablement au centre de l'image, mais la lumière située le long de cette ligne centrale ne nous atteint pas parce qu'elle est absorbée par la masse ténébreuse. Ce quasar est connu sous son immatriculation, MG1131+0456, ou de façon plus informelle comme l'anneau d'Einstein.}{}{ch00/figs}
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Optional topic: Sujet annexe : Changements modernes dans la définition de la lumière et de la matière
Einstein avait prédit, comme conséquence de sa théorie de la relativité, que la lumière pouvait elle aussi être affectée par la gravité, bien que cet effet demeurerait extrêmement ténu sous des conditions normales. Sa prédiction fut corroborée par les observations de la courbure des rayons lumineux émis par les étoiles, lorsqu'ils frôlent le Soleil sur leur trajectoire en direction de la Terre. La théorie d'Einstein implique également l'existence des trous noirs, des astres si massifs et si compacts que leur intense gravité ne permettrait même pas à la lumière de s'en échapper. (Aujourd'hui il y a une forte présomption que les trous noirs existent.)
L'interprétation d'Einstein stipulait que la lumière ne possède pas vraiment une masse, mais que l'énergie est affectée par la gravité, tout comme la masse. L'énergie contenue dans un faisceau lumineux est équivalente à une certaine quantité de masse, donnée par la célèbre équation E=mc2, où c représente la vitesse de la lumière. Puisque la vitesse de la lumière est un gigantesque nombre, une énorme quantité d'énergie n'est équivalente qu'à une petite dose de masse, de telle sorte que la force gravitationnelle qui agit sur un rayon lumineux peut être négligée dans la majorité des applications pratiques.
Il existe cependant une distinction fondamentale, plus satisfaisante, entre la lumière et la matière, que vous pouvez comprendre si vous avez suivi un cours de chimie. En chimie, on apprend que les électrons obéissent au principe d'exclusion de Pauli, lequel empêche à plus d'un électron d'occuper la même orbitale s'ils possèdent le même spin. Les particules subatomiques qui composent la matière vérifient le principe d'exclusion de Pauli, mais celui-ci est violé par les particules, que l'on nomme photons, qui façonnent un faisceau de lumière.
On aborde plus en détail la théorie de la relativité d'Einstein dans le livre 6 de cette série.
La frontière entre la physique et les autres sciences n'est pas toujours limpide. Par exemple, les chimistes étudient les atomes et les molécules, qui sont les briques fondatrices de la matière, et il existe quelques scientifiques qui seraient aussi enclins à les appeler des chimistes physiciens que des physiciens chimistes. Il semblerait que la distinction entre la physique et la biologie soit plus claire, puisqu'il apparaît que la physique se consacre aux objets inanimés. En réalité, pratiquement tous les physiciens s'accorderaient sur le fait que les lois élémentaires de la physique, qui s'appliquent aux molécules situées dans un tube à essai, fonctionneraient tout aussi bien pour la combinaison de molécules qui constitue une bactérie. (Certains pourraient croire que quelque chose de plus se produit dans les esprits des êtres humains, ou même ceux des chats et des chiens.) Ce qui différencie la physique de la biologique c'est que de nombreuses théories scientifiques qui décrivent les êtres vivants, même si finalement elles résultent des lois fondamentales de la physique, ne peuvent pas être rigoureusement dérivées de principes physiques.
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\fig{reductionism}{Le réductionnisme.}{}{ch00/figs}
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Systèmes isolés et réductionnisme
Pour éviter d'avoir à tout étudier en même temps, les scientifiques isolent les objets qu'ils sont en train d'analyser. Par exemple, un physicien qui souhaite étudier le mouvement d'un gyroscope en rotation préférera probablement qu'il soit isolé des vibrations et des mouvements de l'air. De même en biologie, où le travail sur le terrain est indispensable pour comprendre comment les êtres vivants sont reliés à leur environnement complet, il est intéressant de remarquer le rôle historique crucial qu'a joué l'exploration de Darwin dans les îles Gal\'{a}pagos, lesquelles étaient convenablement isolées du reste du monde. Toute partie de l'Univers qui est considérée comme étant séparée du reste peut être appelée un \og système {\fg}.
La physique a réalisé certains de ses plus grands triomphes en portant ce processus d'isolation jusqu'à l'extrême, en subdivisant l'Univers en fragments de plus en plus minuscules. La matière peut être morcelée en atomes, et on peut étudier le comportement d'un seul atome. Les atomes peuvent être séparés en leurs composantes : neutrons, protons et électrons. Il apparaît que les protons et les neutrons sont constitués de particules encore plus exiguës que l'on appelle les quarks, et il y a même eu certaines revendications de preuves expérimentales sur le fait que les quarks possèdent des parties plus petites en leur sein. On appelle réductionnisme cette méthode de division des choses en parties de plus en plus petites et d'étude de la manière dont ces parties s'influencent les unes aux autres. L'espoir est que les règles apparemment complexes qui gouvernent les plus vastes ensembles peuvent être mieux comprises en termes de règles plus simples qui dirigent les éléments les plus petits. Afin de mieux apprécier la contribution du réductionnisme au progrès de la science, il suffit d'examiner un manuel de chimie du XIXe siècle. À cette époque, certaines personnes doutaient toujours de l'existence des atomes, on ne soupçonnait même pas que les électrons existent, et on ne savait presque rien sur la façon dont les lois fondamentales gouvernaient l'interaction des atomes entre eux dans les réactions chimiques. Les étudiants devaient mémoriser une longue liste de substances chimiques et leurs réactions, et il n'existait aucun procédé permettant de comprendre de manière systématique l'une quelconque d'entre elles. De nos jours, les étudiants ont simplement besoin d'apprendre un ensemble réduit de lois sur la manière dont les atomes interagissent, notamment que les atomes d'un élément ne peuvent pas se convertir en un autre via des réactions chimiques, ou que les atomes situés dans la partie droite de la table périodique ont tendance à former des liaisons fortes avec les atomes de la partie gauche.
”Discussion Questions”
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J'ai proposé de substituer la définition usuelle de la lumière, donnée par le dictionnaire, par celle plus technique et plus précise qui implique l'absence de poids. Il reste toujours possible, cependant, que la substance produite par une ampoule électrique, que l'on nomme d'ordinaire \og lumière {\fg}, doive avoir un poids minuscule. Suggérez une expérience qui permettrait de mesurer si c'est le cas.
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La chaleur n'a pas de poids (c'est-à-dire qu'un objet ne devient pas plus lourd lorsqu'il est chauffé), et peut se propager à travers une pièce vide de la cheminée jusqu'à votre peau, où elle se fait sentir en vous réchauffant. La chaleur devrait-elle être par conséquent considérée comme une forme de lumière selon notre définition ? Si oui ou non, pourquoi ?
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De façon analogue, le son devrait-il être considéré comme une forme de lumière ?
Comment apprendre la physique ?
Dans la communication actuelle des connaissances, il y a une espèce de contrat d'erreur entre celui qui enseigne et celui qui reçoit cet enseignement. Celui qui délivre la connaissance présente son argument pour être le plus convaincant possible plutôt que d'être le plus facilement évalué. Et celui qui écoute préfère une satisfaction immédiate plutôt que de se poser des questions. -- Francis Bacon
De nombreux étudiants abordent un cours de science avec l'idée qu'ils peuvent réussir en apprenant par c{\oe}ur les formules, de telle sorte que lorsqu'un problème est donné pour les devoirs ou à un examen, ils seront capables d'introduire des valeurs numériques dans la formule et d'obtenir un résultat numérique sur leur calculatrice. C'est faux ! Ce n'est pas du tout l'objet de l'apprentissage des sciences ! Il existe une différence considérable entre la mémorisation des formules et la compréhension des concepts. Pour commencer, des formules distinctes peuvent s'appliquer dans des contextes différents. Une équation peut servir de définition, laquelle est toujours vérifiée. Une autre peut être une équation très particulière concernant la vitesse d'un objet qui glisse sur un plan incliné, ce qui pourrait ne pas être vérifié si l'objet était une pierre qui dérive au fond de l'océan. Si vous ne voulez pas prendre la peine de comprendre la physique à un niveau conceptuel, vous ne saurez jamais quelles formules peuvent être utilisées et quand.
La plupart des étudiants qui assistent à des cours de science pour la première fois au collège ont également une expérience très réduite dans l'interprétation de la signification d'une équation. Considérez l'équation l=A/h qui associe la longueur d'un rectangle à sa hauteur et à son aire. Un étudiant qui n'a pas développé de l'habileté dans l'interprétation pourrait concevoir celle-ci comme une équation de plus à mémoriser et à ressortir lorsque cela sera nécessaire. Un étudiant légèrement plus perspicace réaliserait que c'est tout simplement la formule familière A=lh sous une forme différente. Lorsque nous demandons si la longueur d'un rectangle serait plus grande ou plus petite que celle d'un autre rectangle ayant une aire identique mais une hauteur plus petite, l'élève ingénu pourrait être perdu car il n'aurait aucun nombre à introduire dans sa calculatrice. L'étudiant plus expérimenté saurait comment raisonner à propos d'une équation comportant une division -- si h est inférieur, et que A demeure constant, alors l doit être supérieur. Souvent, les étudiants échouent dans la reconnaissance d'une série d'équations comme étant une dérivation menant au même résultat final, ainsi ils imaginent que toutes les étapes intermédiaires sont des formules tout aussi importantes qu'ils doivent apprendre par c{\oe}ur.
Lors de l'apprentissage d'un sujet quel qu'il soit, il est primordial de se tenir à l'écoute aussi activement que possible, plutôt que d'essayer de parcourir toute l'information rapidement sans y réfléchir. C'est une excellente idée que de lire et de réfléchir aux questions posées à la fin de chaque section de ces notes lorsque vous les rencontrez, ainsi vous saurez que vous avez compris ce que vous avez lu.
Une grande part des difficultés des étudiants en physique se limite essentiellement à des difficultés en maths. Supposons que vous vous sentez confiant sur le fait que vous ayez une préparation mathématique suffisante pour suivre à bien ce cours, mais que vous ayez quelques lacunes concernant des sujets bien précis. Dans certains domaines, les brèves généralités données dans ce chapitre peuvent suffire, mais dans d'autres sujets ce ne sera probablement pas le cas. Dès vous identifiez les parties mathématiques avec lesquelles vous rencontrez des difficultés, demandez de l'aide sur ces sujets. Ne traînez pas tout au long de ce cours un vague sentiment de crainte vis à vis de quelque chose telle que la notation scientifique. Le problème ne s'en ira pas si vous l'ignorez. La même chose s'applique aux aptitudes mathématiques essentielles que vous apprenez dans ce cours pour la première fois, à l'instar de l'addition vectorielle.
Parfois des étudiants me disent qu'ils persistent à essayer de comprendre un sujet précis dans le livre, mais celui-ci reste désespérément abscons. La pire chose que vous puissiez faire dans cette situation, c'est d'avoir toujours les yeux rivés sur cette même page. Tous les livres expliquent mal certains concepts -- même le mien ! -- donc la meilleure chose à faire dans ce cas, c'est de lire un livre différent. À la place des manuels scolaires qui requièrent le même niveau en mathématiques que le cours que vous êtes en train de suivre, vous pouvez dans certains cas tomber sur un ouvrage de l'enseignement supérieur ou un livre d'un niveau en maths inférieur qui donne des explications plus claires.
Finalement, lorsque vous révisez pour un examen, ne relisez pas simplement le texte et vos notes. Au lieu de cela, essayez d'employer une méthode active de révision, par exemple en discutant certaines des questions à débattre avec un autre étudiant, ou en faisant des exercices de devoirs, que vous n'aviez pas fait la première fois.
Vitesse et accélération
Le calcul différentiel et intégral fut inventé par un physicien, Isaac Newton, parce qu'il en avait besoin comme instrument de calcul de la vitesse et de l'accélération. Dans votre cours d'introduction au calcul infinitésimal, la vitesse et l'accélération sont probablement présentées comme quelques unes des premières applications.
Si la position d'un objet exprimée en fonction du temps est donnée par la fonction x(t), alors sa vitesse et son accélération sont données par les dérivées première et seconde par rapport au temps,
Failed to parse (unknown function\intertext): \begin{align} v &= \frac{d x}{d t} \\ \intertext{et} a &= \frac{d^2 x}{d t^2} \qquad . \end{align}
Cette notation fait la relation de manière logique avec les unités de ces quantités. La vitesse est exprimée en m/s, et cela est cohérent puisque d x est interprété comme une distance infinitésimalement petite, exprimée en mètres, et d t comme une durée infinitésimalement ténue, exprimée en secondes. La position apparemment bizarre et incohérente des chiffres deux en exposant dans la notation de l'accélération est également intentionnelle pour évoquer les unités : quelque chose au dessus avec des unités exprimées en mètres, et quelque chose en dessous avec des unités exprimées en secondes au carré.
La vitesse et l'accélération ont des interprétations physiques radicalement différentes. La vitesse est une affaire de point de vue. En cet instant, puisque vous êtes assis sur une chaise et que vous lisez ce livre, vous pourriez affirmer que votre vitesse est nulle, mais un observateur qui regarde la Terre tourner pourrait dire que vous avez une vitesse de plusieurs centaines de milliers de mètres par heure. L'accélération représente une variation de la vitesse, et n'est dont pas une question de point de vue. Les accélérations engendrent des effets physiques, et ne se manifestent pas à moins qu'une force les occasionne. Par exemple, les forces gravitationnelles sur la Terre provoquent la chute des objets avec une accélération de 9,8 m/s2.
Example 1: Accélération constante
◊
À quelle hauteur un plongeoir doit-il être situé au dessus de l'eau si le plongeur doit rester 1,0 s en l'air ?
◊
Le plongeur est au repos au départ, puis il a une accélération de 9,8 m/s2. Nous voulons découvrir une relation entre la distance qu'il parcourt et le temps qu'il met. En d'autres termes, nous cherchons des renseignements sur la fonction x(t), ayant des informations sur l'accélération. Pour passer de l'accélération à la position, nous avons besoin d'intégrer deux fois :
Failed to parse (lexing error): \begin{align} x &= \int \int a \:d t \:d t \\ &= \int \left(at+v_text{o}\right) d t \qquad \text{[$v_text{o}$ est une constante d'intégration.]} \\ &= \int at \:d t \qquad \text{[$v_text{o}$ est nulle car il est initialement au repos.]} \\ &= \frac{1}{2}at^2+x_text{o} \qquad \text{[$x_text{o}$ est une constante d'intégration.]} \\ &= \frac{1}{2}at^2 \qquad \text{[$x_text{o}$ peut être nulle si nous la plaçons à l'origine.]} \end{align}
Remarquez la présence de quelques bonnes habitudes à prendre dans la résolution des problèmes tel que celui que l'on démontre ici. Nous avons résolu ce problème symboliquement, et c'est seulement à la fin que l'on a remplacé les variables par leurs valeurs numériques, une fois que les calculs algébrique et intégral sont effectués. Nous devons également prendre l'habitude, après avoir trouvé un résultat analytique, de vérifier si la dépendance entre les variables reste cohérente. Une valeur supérieure de t dans cette expression impliquerait une valeur plus grande pour x, ce qui est logique puisque si vous voulez rester plus longtemps en l'air, vous avez besoin d'entamer votre saut d'une position plus haute. Une plus grande accélération conduit aussi à une hauteur supérieure, cela est tout aussi logique, parce que plus la gravité est forte, plus la hauteur que vous aurez besoin d'avoir afin de demeurer en l'air pendant une certaine durée, sera élevée. Maintenant introduisons les nombres.
Remarquez que lorsque nous avons inséré les nombres, nous avons vérifié que les unités s'ajustent correctement :
. Nous devons également contrôler que le résultat reste cohérent : 4,9 mètres, c'est joliment haut, mais ce n'est pas déraisonnable.
La notation d q dans le calcul intégral et différentiel représente une variation infinitésimalement petite de la variable q. La notation correspondant à une variation finie de cette variable est Δ q. Par exemple, si q représente la valeur d'une certaine action cotée en bourse, et que la valeur chute de qo=5 euros initialement à qf=3 euros à la fin, alors Δ q=-2 euros. Lorsque nous étudions les fonctions linéaires, dont les pentes sont constantes, la dérivée est synonyme de pente de la droite, et d y/d x représente la même chose que Δ y/Δ x, c'est-à-dire l'élévation sur la distance sur l'axe des x.
Dans des conditions d'accélération constante, nous pouvons associer la vitesse au temps,
ou, à l'instar de l'exemple , la position au temps,
Il peut être commode, aussi, d'avoir une relation faisant apparaître la vitesse et la position, mais pas le temps. L'algèbre nous donne immédiatement
vf2 = vo2 + 2 a Δ x ,
où vf est la vitesse finale, vo la vitesse de départ, et Δ x la distance parcourue.
Auto-évaluation
La partie introductive d'un livre tel que celui-ci est difficile à rédiger, parce que chaque étudiant aborde ce point de départ avec une préparation différente. Un élève peut avoir été élevé en dehors des États-Unis et peut donc être entièrement à l'aise avec le système métrique, mais peut avoir suivi un cours d'algèbre dans lequel le professeur soit passé trop rapidement sur le système de notation scientifique. Un autre étudiant peut avoir déjà appris le calcul vectoriel, mais peut n'avoir jamais vu le système métrique. L'auto-évaluation qui suit constitue une énumération permettant de vous aider à réfléchir sur ce dont vous avez besoin d'apprendre pour être prêt pour le reste de ce cours.
| Si vous n’tes pas d’accord avec cette phrase… | vous devriez tudier cette section : |
| Je suis l’aise avec les units mtriques
de base : le mtre, le kilogramme et la seconde, et avec les prfixes mtriques les plus utiliss : milli- (m), kilo- (k) et centi- (c). | sous-section ?? Fondements du Systme mtrique |
| Je suis l’aise avec ces prfixes mtriques
moins courants : mga- (M), micro- μ) et nano- (n). | sous-section ?? Prfixes mtriques moins courants |
| Je suis l’aise avec la notation scientifique. | sous-section ?? La notation scientifique |
| Je peux faire des conversions vers des units mtriques en toute confiance. | sous-section ?? Conversions |
| Je comprends le but et l’emploi des chiffres significatifs. | sous-section ?? Chiffres significatifs |
Cela ne vous sera pas néfaste, si vous sautez les sections que vous pensez déjà connaître, de faire les auto-évaluations de ces sections.
Fondements du Système métrique
Le Système métrique
Les unités n'étaient pas standardisées encore assez récemment dans le passé, ainsi lorsque le physicien Isaac Newton donnait le résultat d'une expérience effectuée à l'aide d'un pendule, il devait non seulement préciser que la ficelle faisait 37 pouces 7/8 de long mais qu'elle faisait \og 37 7/8 pouces de Londres de long {\fg}. Le pouce tel qu'il était défini dans le Yorkshire était différent. Même après que l'Empire britannique ait normalisé ses unités, il était toujours très malaisé d'effectuer des calculs concernant de l'argent, du volume, une distance, une durée ou du poids, à cause de tous les facteurs de conversion non uniformes, comme 16 onces dans une livre et 5\;280 pieds dans un mile. Au cours du dix-neuvième siècle, les écoliers gaspillaient la plupart de leur éducation mathématique à se préparer à effectuer des calculs tel que de savoir rendre la monnaie lorsqu'un client dans une boutique donnait un billet d'une couronne pour un ouvrage valant deux livres, treize shillings et deux pences. Le dollar a toujours été décimal, et la monnaie britannique devint décimale des décennies plus tôt, mais les États-Unis sont toujours empêtrés avec ce système désuet de pieds, pouces, livres, onces et ainsi de suite.
Chaque nation dans le monde, outre les États-Unis, a adopté un système d'unités connu en français sous l'appellation de \og système métrique {\fg}. Si ce système est entièrement décimal, c'est parce que nous le devons aux mêmes personnalités éminemment rationnelles qui ont déclenché la Révolution Française. En révérence à la France, la désignation officielle de ce système est le Système International d'Unités, ou SI, dans toutes les langues. (L'expression \og système SI {\fg} est par conséquent redondante.)
La chose merveilleuse concernant le SI c'est que les gens qui vivent dans des pays plus modernes que les pays anglo-saxons n'ont pas besoin de mémoriser combien y-a-t-il d'onces dans une livre, combien y-a-t-il de verres dans une pinte, combien de pieds dans un mile, etc. Ce système fonctionne à l'aide d'un ensemble simple et cohérent de préfixes (dérivés du grec) qui affectent les unités de base. Chaque préfixe représente une puissance de dix, et possède une abréviation qui peut être combinée avec le symbole représentant l'unité. Par exemple, le mètre est l'unité de la distance. Le préfixe kilo- signifie 103, ainsi un kilomètre, 1 km, est mille mètres.
Les unités de base du système métrique sont le mètre pour la distance, la seconde pour le temps, et le gramme pour la masse.
Les préfixes métriques les plus courants sont donnés ci-dessous. Vous devriez les connaître par c{\oe}ur.
| prfixe | sens | exemple | ||
| kilo- | k | 103 | 60 kg | = masse d’une personne |
| centi- | c | 10 − 2 | 21 cm | = largeur d’une feuille de papier |
| milli- | m | 10 − 3 | 1 ms | = dure d’une vibration d’une corde de guitare mettant la note r |
Le préfixe centi-, signifiant 10-2, n'est employé que dans centimètre ; on ne note pas un centième de gramme par 1 cg mais par 10 mg. Le préfixe centi- est facile à mémoriser parce qu'un centime vaut 10-2 euro. La notation officielle du SI pour les secondes est \og s {\fg} (et non \og sec {\fg}) et pour les grammes, \og g {\fg} (et non \og gm {\fg}).
La seconde
Et le soleil s'arrêta, et la lune se tint immobile jusqu'à ce que le peuple se fût vengé de ses ennemis. -- Josué 10:12-14
Le temps absolu, vrai et mathématique, sans relation à rien d'extérieur, coule uniformément... -- Isaac Newton
Lorsque j'ai brièvement déclaré plus haut que la seconde était une unité de temps, il ne vous est peut-être pas venu à l'esprit que ce n'était pas vraiment une définition. Les deux citations ci-dessus ont pour intention de démontrer quel fossé existe pour la confusion entre des gens qui semblent vouloir parler de la même chose avec un mot tel que le \og temps {\fg}. La première citation a été interprétée par certains érudits bibliques comme indication d'une croyance ancienne que le mouvement du Soleil à travers le ciel n'était pas uniquement quelque chose qui se produisait avec l'écoulement du temps mais que le Soleil imposait réellement au temps de s'écouler par son mouvement, de telle sorte que son immobilisation dans l'azur aurait eu une sorte d'effet ralentissant surnaturel sur quiconque, excepté les soldats hébreux. De nombreuses cultures antiques concevaient également le temps comme étant cyclique, plutôt que s'égrenant le long d'une droite comme dans 1998, 1999, 2000, 2001, ... La deuxième citation, tirée d'un physicien relativement moderne, devrait retentir comme beaucoup plus scientifique, mais la plupart des physiciens aujourd'hui la considérerait comme inutile en tant que définition du temps. De nos jours, les sciences physiques sont fondées sur des définitions opérationnelles, ce qui signifie des définitions qui énumèrent les étapes (opérations) concrètes nécessaires pour mesurer numériquement quelque chose.
\begin{margin}{5}{80}{00}
\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(154.4mm,\paperheight-165.5mm)
\fig{eleven-days}{Le pape Grégoire a créé notre calendrier grégorien moderne, avec son système d'années bissextiles, pour faire en sorte que la durée de l'année calendaire concorde avec la longueur du cycle des saisons. Il fallut attendre 1752 pour que les protestants anglais adoptent ce nouveau calendrier (contre 1582 pour la France \ndt). Certains citoyens moins instruits croyaient que le raccourcissement du mois de onze jours aurait diminué d'autant leurs vies. Dans cette illustration de William Hogarth, le feuillet jonchant sur le sol annonçait : \og Rendez-nous nos onze jours {\fg}.}{}{ch00/figs}
\end{textblock*}\end{margin}
Dorénavant, à une époque où nos grille-pain, stylos et cafetières nous affichent l'heure, il est loin d'être évident pour la majorité des gens de savoir ce qu'est la définition opérationnelle fondamentale du temps. Encore récemment, l'heure, la minute et la seconde étaient définies de manière opérationnelle en fonction de la durée requise à la Terre pour tourner autour de son axe. Malheureusement, la rotation terrestre est en train de ralentir légèrement, et en 1967 cela devint un véritable obstacle dans les expériences scientifiques exigeant des mesures précises du temps. La seconde fut par conséquent redéfinie comme étant le temps nécessaire pour un certain nombre de vibrations d'ondes lumineuses, émises par des atomes de césium situées dans lampe, construite comme une enseigne au néon familière mais en remplaçant le néon par du césium. La nouvelle définition nous promettait non seulement de demeurer indéfiniment constante, mais pour les scientifiques c'était un procédé plus pratique pour étalonner une horloge plutôt que d'avoir à transporter des mesures astronomiques.
self-check:
Que serait une définition opérationnelle possible pour la force d'une personne ?
(answer in the back of the PDF version of the book)
Le mètre
Les français définirent à l'origine le mètre comme étant 10-7 fois la distance allant de l'équateur au Pôle nord, mesurée en passant (bien évidemment) par Paris. Même si cette définition était pratique, l'opération consistant à voyager jusqu'au Pôle nord tout en disposant derrière vous un fil d'Ariane n'était pas celle qui enchantait la plupart des scientifiques concernés. Assez tôt, un étalon fut façonné sous la forme d'une barre métallique ayant deux entailles. Cette définition persista jusqu'à 1960, date à laquelle le mètre fut redéfini comme étant la distance parcourue par la lumière dans le vide pendant une période de 1/299\,792\,458 secondes.
\begin{margin}{6}{0}{00}
\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(11.4mm,\paperheight-180.5mm)
\fig{france}{La définition originale du mètre.}{}{ch00/figs}
\end{textblock*}\end{margin}
Le kilogramme
La troisième unité de base du SI est le kilogramme, une unité de la masse. On entend par masse, une mesure de la quantité d'une substance, mais ce n'est pas une définition opérationnelle. Les pèse-personnes fonctionnent en mesurant l'attraction gravitationnelle exercée par notre planète sur l'objet qui est pesé, mais utiliser ce type de balance pour définir de manière pratique la masse ne serait pas souhaitable parce que l'intensité de la gravité fluctue d'un lieu à l'autre sur la Terre.
Curieusement, il y a une énorme divergence parmi les ouvrages de physique sur la manière dont la masse devrait être définie, mais celle qui est donnée ici est en fait soutenue par les quelques physiciens à l'{\oe}uvre aujourd'hui et qui sont spécialisés dans les mesures de ultra haute précision. Ils conservent un objet physique à Paris, qui est l'étalon du kilogramme, un cylindre constitué d'un alliage en platine--iridium. On vérifie la concordance des copies avec cette génitrice de tous les kilogrammes en plaçant l'original et la copie sur les deux plateaux opposés d'une balance. Bien que cette méthode de comparaison dépende de la gravité, les problèmes associés aux différences de gravité en des lieux géographiques distincts sont évincés, parce que les deux objets sont toujours comparés au même endroit. Les duplicatas peuvent alors être retirés de ce sanctuaire parisien du kilogramme et transportés où que ce soit dans le monde.
Combinaisons d'unités métriques
À ce point, tout ce que vous voulez mesurer peut être quantifié à l'aide d'une certaine combinaison de mètres, kilogrammes et secondes. La vitesse peut être mesurée en m/s, le volume en m3 et la densité en kg/m3. Ce qui rend le SI puissant, c'est en partie sa simplicité élémentaire. Il n'y a plus d'unités farfelues comme une corde de bois, une coupe de drap ou un jigger de whisky. Nul besoin de mesures sèche et liquide supplémentaires. Simplement un ensemble simple et cohérent d'unités. Les mesures du SI assemblées à partir des mètres, kilogrammes et secondes constituent le système mks. Par exemple, l'unité mks de la vitesse est exprimée en m/s, et non en km/h.
”Discussion Question”
◊
Isaac Newton écrivit \og [...] les jours naturels sont inégaux, quoi qu'on les prenne communément pour une mesure égale du temps [...] Il est très possible qu'il n'y ait point de mouvement parfaitement égal, qui puisse servir de mesure exacte du temps ; car tous les mouvements peuvent être accélérés & retardés [...] {\fg}. Newton avait raison. Même la définition moderne de la seconde comme étant la lumière émise par des atomes de césium est sujette à des variations. Par exemple, les champs magnétiques pourraient contraindre ces atomes de césium à émettre de la lumière avec une cadence de vibration légèrement différente. Qu'est-ce qui nous fait penser, toutefois, qu'une horloge à pendule est plus fidèle qu'un cadran solaire, ou qu'un atome de césium est un chronomètre plus fiable qu'un balancier ? C'est-à-dire comment pouvons-nous tester expérimentalement la comparaison de l'exactitude de différents étalons du temps ?
Préfixes métriques moins courants
Les préfixes métriques qui suivent sont les trois qui, bien qu'ils soient moins courants que ceux que nous venons de voire, sont tout à fait dignes d'être appris.
| prfixe | sens | exemple | ||
| mga- | M 106 | 6,4 Mm | = rayon de la Terre | |
| micro- | μ 10 − 6 | 10mumunit | = taille d’un globule blanc | |
| nano- | n 10 − 9 | 0,154 nm | = distance entre les noyaux de carbone dans une molcule d’thane | |
Remarquez que le symbole utilisé pour micro est la lettre grecque mu, μ -- une erreur courante consiste à le confondre avec m (milli) ou M (méga).
Il existe d'autres préfixes encore moins communs, employés pour les quantités extrêmement petites et grandes. Par exemple, 1 femto-mètre =10-15 m constitue une unité commode de distance en physique nucléaire, et on se sert de 1 gigaoctet=109 octets pour les disques durs des ordinateurs. L'organisme international qui prend des décisions à propos du SI a récemment ajouté encore quelques nouveaux préfixes qui ont une connotation humoristique, par exemple
est à peu près la moitié de la masse du proton. Dans un futur proche, cependant, il est peu probable que vous rencontriez des préfixes tels que \og yocto- {\fg} et \og zepto- {\fg} qui ne seront utilisés, sauf peut-être dans des concours futiles lors de congrès sur la science-fiction ou autres festivals des férus d'informatique.
self-check:
Supposez que vous puissiez ralentir le temps de telle sorte que selon votre perception, un faisceau de lumière traverserait une pièce à la vitesse d'une marche lente. Si vous perceviez une nanoseconde comme si c'était une seconde, comment percevriez-vous une microseconde ?
(answer in the back of the PDF version of the book)
La notation scientifique
La plupart des phénomènes intéressants dans notre univers ne se situe pas à l'échelle humaine. Le nombre de bactéries nécessaires serait d'environ 1\,000\,000\,000\,000\,000\,000\,000, pour parvenir à la masse d'un corps humain. Lorsque le physicien Thomas Young découvrit que la lumière est une onde, c'était jadis, à l'époque déplorable située avant la notation scientifique, et il fut obligé d'écrire que la durée requise pour une vibration de l'onde était de 1/500ème de millionième de millionième de seconde. La notation scientifique est un procédé le moins pire permettant de noter des nombres très grands et très petits comme ceux-ci. En voici un bref tour d'horizon.
L'objet de la notation scientifique consiste à noter un nombre comme un produit de quelque chose allant de 1 à 10 par autre chose qui est une puissance de dix. Par exemple,
Chaque nombre est dix fois plus grand que le précédent.
Puisque 101 est dix fois plus petit que 102, il serait logique d'employer la notation 100 pour représenter le chiffre un, le nombre qui est, par la suite, dix fois plus petit que 101. En poursuivant ainsi, nous pouvons écrire 10-1 pour 0,1 : le nombre qui est dix fois plus petit que 100. Les exposants négatifs sont utilisés pour les petits nombres :
La notation utilisée sur les afficheurs de nombreuses calculatrices est une source fréquente de confusion. Exemples :
| 3,2×106 | (notation crite) |
| 3.2E+6 | (notation sur certaines calculatrices) |
| 3.26 | (notation sur certaines autres calculatrices) |
Ce dernier exemple est particulièrement maladroit, parce que 3.26 représente en réalité le nombre 3,2 × 3,2 × 3,2 × 3,2 × 3,2 × 3,2= 1 074, un nombre radicalement différent de 3,2 × 106=3 200 000. La notation des calculatrices ne devrait jamais être utilisée par écrit. C'est simplement une façon pour le fabricant d'économiser de l'argent en concevant un écran plus simple.
self-check:
Un étudiant apprend que 104 bactéries, qui font la queue pour entrer au cours de l'école de la Communauté de Paramécie, formeraient une queue de cette taille :
figure sc-bacteria-queue-1.png needs to be imported -
L'étudiant conclue que 102 bactéries formeraient une ligne de cette longueur :
figure sc-bacteria-queue-2.png needs to be imported -
Pourquoi l'étudiant n'a-t-il pas raison ?
(answer in the back of the PDF version of the book)
Conversions
Je vous ai proposé qu'il était inutile de mémoriser de nombreux facteurs de conversion entre des unités SI et des unités non SI, mais il y en a deux qu'il est malgré tout utile de connaître :
{}1 pouce = 2,54 cm.
Un objet ayant sur Terre un poids de 2,2 livres-force a une masse de 1 kg.
La première est la définition actuelle du pouce, donc elle est exacte. La seconde n'est pas exacte, mais elle l'est suffisamment la plupart du temps. (Les unités américaines de force et de masse sont confuses, donc c'est une bonne chose qu'elles ne soient pas utilisées en science. Dans les unités américaines, l'unité de force est la livre-force, et la meilleure unité à utiliser pour la masse est le slug, qui vaut environ 14,6 kg.)
Mais il y a plus important que d'apprendre par c{\oe}ur les facteurs de conversion : la compréhension de la méthode adéquate pour réaliser ces conversions. Même sans le SI, vous pouvez avoir besoin de convertir, disons des grammes en kilogrammes. Chacun a une façon de penser différente à propos des conversions, mais la méthode que je décrirai ici en est une systématique et facile à comprendre. L'idée est que si 1 kg et 1\;000 g représentent la même masse, alors nous pouvons considérer une fraction comme
comme étant une manière d'exprimer le chiffre un. Ceci pourrait vous rendre perplexe. Par exemple, si vous tapez 1\;000/1 sur votre calculatrice, vous obtiendrez 1\;000, et pas un. À nouveau, chaque individu a une façon de réfléchir dissemblable à ce propos, mais la raison est que cela nous aide à faire des conversions, et ça marche ! Maintenant si nous voulons convertir 0,7 kg en grammes, nous pouvons multiplier le kg par le chiffre un :
Si vous êtes disposé à considérer les symboles tel que le \og kg {\fg} comme si c'était des variables algébriques (même s'ils ne le sont pas vraiment), vous pouvez alors simplifier le kg en haut avec le kg en bas, ce qui donne pour résultat
Pour convertir des grammes en kilogrammes, vous avez tout simplement besoin d'inverser la fraction.
Un avantage de cette méthode c'est qu'elle peut aisément être appliquée à une succession de conversions. Par exemple, pour convertir un année en secondes,
Failed to parse (unknown function\begin): \begin{multline} 1\ {\text{année}} \times \frac{365\ {\text{jours}}}{1\ {\text{année}}} \times \frac{24\ {\text{heures}}}{1\ {\text{jour}}} \times \frac{60\ {\text{min}}}{1\ {\text{heure}}} \times \frac{60\ \text{s}}{1\ {\text{min}}} = \\ = 3,15 \times 10^7\ \text{s} \qquad . \end{multline}
Cet exposant devrait-il être positif, ou négatif ?
Une erreur courante consiste à écrire de manière incorrecte la fraction de conversion. Par exemple le rapport
n'est pas égal à un, parce que 103 c'est la masse d'une voiture, et 1 g c'est la masse d'un raisin. Une manière correcte de disposer le facteur de conversion serait
Vous pouvez généralement déceler une telle erreur si vous prenez le temps de vérifier votre réponse et si vous vous assurez qu'elle reste raisonnable.
Si l'intuition ne détermine pas si l'exposant doit être positif ou négatif, il y a une autre méthode pour vous assurer que vous avez raison. Il y a des grands préfixes et des petits préfixes :
| grands prfixes : | k M |
| petits prfixes : | m μ n |
(Il n'est pas difficile de retrouver immédiatement qui est qui, puisque \og méga {\fg} et \og micro {\fg} sont évocateurs, et il est aisé de se rappeler qu'un kilomètre est plus grand qu'un mètre et qu'un millimètre est plus petit.) Dans l'exemple ci-dessus, nous voulons que la partie supérieure de la fraction soit identique à la partie inférieure. Puisque k est un grand préfixe, nous avons besoin de compenser en plaçant un petit nombre comme 10-3 devant celui-ci, et non un grand nombre comme 103.
”Discussion Question”
◊
Chacune des conversions suivantes contient une erreur. Dans chaque cas, expliquez quelle est cette erreur.
(a)
.
(b)
.
(c) \og Nano {\fg} est 10-9, donc il y a 10-9 dans un mètre.
(d) \og Micro {\fg} est 10-6, donc 1 kg est 106 μg.
Chiffres significatifs
Un ingénieur est en train de concevoir un moteur de voiture, et on lui informe que le diamètre des pistons (qui ont été conçus par une autre personne) est de 5 cm. Il sait que 0,02 cm d'espace libre est nécessaire pour un piston de cette taille, donc il dessine le cylindre de façon à ce que son diamètre interne soit de 5,04 cm. Par chance, sa supérieure s'aperçoit de son erreur avant que le véhicule n'entre en production. Elle lui expose sa faute, et le place mentalement dans la catégorie des individus \og à ne pas promouvoir {\fg}.
Quelle était son erreur ? La personne qui lui a dit que les pistons faisaient 5 cm de diamètre était prudente en ce qui concerne les chiffres significatifs, comme son chef qui lui expliqua qu'il avait besoin de revoir sa copie et de prendre en compte un nombre plus fiable pour le diamètre des pistons. La personne indiqua \og 5 cm {\fg} au lieu de \og 5,00 cm {\fg} précisément pour éviter de donner l'impression que ce nombre était extrêmement précis. En réalité, les pistons avaient un diamètre de 5,13 cm. Ils n'auraient jamais pu s'ajuster dans les cylindres de 5,04 cm.
La quantité de chiffres de précision dans un nombre est considérée comme étant le nombre de chiffres significatifs. Comme dans l'exemple ci-dessus, les chiffres significatifs fournissent une manière d'afficher la précision d'un nombre. Dans la majorité des cas, le résultat d'un calcul, qui fait appel à plusieurs données distinctes, ne peut pas être plus précis que la moins précise d'entre elles. Autrement dit, \og si l'on entre des données fausses, on obtiendra comme résultat des données erronées {\fg}. Puisque les 5 cm de diamètre des pistons n'étaient pas très précis, le résultat du calcul de l'ingénieur, 5,04 cm, n'était en réalité pas aussi précis qu'il le pensait. En général, votre résultat ne devrait pas avoir plus de chiffres significatifs qu'il y en a dans la donnée la moins précise que vous avez considérée. Le calcul ci-dessus aurait dû être effectué comme suit :
Le fait que le résultat final n'ait qu'un seul chiffre significatif vous interpelle alors sur le fait que le résultat n'est pas tellement précis, et pourrait ne pas être approprié dans la conception du moteur.
Remarquez que les zéros en tête dans le nombre 0,04 ne sont pas comptabilisés comme des chiffres significatifs, parce qu'ils représentent uniquement des variables libres. D'autre part, un nombre tel que 50 cm est ambigu -- le zéro pourrait être considéré comme un chiffre significatif, ou il pourrait juste être placé ici comme une variable libre. L'équivoque soulevée par les zéros placés en queue peut être évitée en utilisant la notation scientifique, dans laquelle 5×101 impliquerait un chiffre significatif de précision, tandis que 5,0×101 impliquerait deux chiffres significatifs.
self-check:
La citation suivante est tirée d'un éditorial de Norimitsu Onishi dans le New York Times du 18 août 2002.
Considérez le Nigeria. Tout le monde s'accorde sur le fait que c'est la nation d'Afrique ayant la plus forte population. Mais quelle est sa population ? Les Nations Unies avancent 114 millions, le département d'État, 120 millions. La banque mondiale déclare 126,9 millions, tandis que la CIA la place à 126\;635\;626.
Qu'est-ce qui devrait vous faire réagir ici ?
(answer in the back of the PDF version of the book)
Vous pouvez gagner du temps si vous traitez correctement avec les chiffres significatifs ! Souvent, les étudiants recopient les nombres donnés par leurs calculatrices avec huit chiffres significatifs de précision, puis les retapent à nouveau pour un calcul ultérieur. C'est une perte de temps, à moins que votre donnée d'origine ait ce genre de précision invraisemblable.
Les règles d'usage concernant les chiffres significatifs sont uniquement des procédés empiriques, et ne doivent pas se substituer à une réflexion méticuleuse. Par exemple, 20,00 \euro{} + 0,05 \euro{} égal 20,05 \euro{}. Il n'y a aucune nécessité d'arrondir à 20 \euro{}. En général, les règles du chiffre significatif fonctionnent mieux pour la multiplication et la division, et nous les appliquons également lorsque nous effectuons un calcul compliqué qui fait appel à de nombreux types d'opérations. Pour une addition et une soustraction simple, il est plus sensé de conserver un nombre fixe de chiffres après la virgule.
Lorsque vous avez un doute, n'utilisez plus les règles du chiffre significatif. À la place, remplacez volontairement une de vos données initiales par la quantité maximale que vous pensez qu'elle pourrait avoir, puis réévaluez le résultat final. Les chiffres à la fin qui sont complètement bouleversés sont ceux qui sont insignifiants, et qui peuvent être omis.
self-check:
Combien de chiffres significatifs y-a-t-il dans chacune des mesures suivantes ?
(1) 9,937 m
(2) 4,0 s
(3) 0,0000000000000037 kg
(answer in the back of the PDF version of the book)
Proportionnalité et évaluations d'ordres de grandeur
Introduction
\begin{margin}{7}{0}{00}
\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(11.4mm,\paperheight-215mm)
\fig{big-amoeba}{On ne rencontre guère d'amibes de cette taille.}{}{ch00/figs}
\end{textblock*}\end{margin}
Pourquoi un insecte ne peut-il pas avoir la taille d'un chien ? Certaines cellules étroites et allongées situées dans votre moelle épinière font un mètre de haut -- pourquoi la nature n'exhibe-t-elle aucune cellule unique qui fasse non seulement un mètre de hauteur, mais également un mètre de large et un mètre d'épaisseur ? Que vous le croyiez ou non, on peut assez facilement répondre à ces questions sans forcément en savoir beaucoup plus sur la physique que ce que vous savez déjà. La seule technique mathématique que vous avez vraiment besoin de maîtriser, c'est tout simplement la conversion, appliquée à l'aire et au volume.
Aire et volume
L'aire peut être définie en stipulant que nous pouvons recopier la forme qui est étudiée sur un papier millimétré ayant des carreaux de 1 cm × 1 cm et en comptant le nombre de carreaux situés à l'intérieur de cette figure. Les fractions de carrés peuvent être évalués à l'{\oe}il. Nous disons alors que l'aire est égale au nombre de carrés, exprimée en cm carré. Même si cela pourrait paraître moins \og parfait {\fg} que de calculer des aires en utilisant des formules telles que A=π r2 pour un disque ou A=lh/2 pour un triangle, ces formules ne sont pas aussi utiles que les définitions d'aires parce qu'elles ne peuvent pas être appliquées aux surfaces de forme irrégulières.
Les unités exprimées en cm carré sont plus couramment notées cm2 en science. Bien évidemment, l'unité de mesure symbolisée par \og cm {\fg} n'est pas un symbole algébrique qui représenterait un nombre qui pourrait être formellement multiplié par lui-même. Mais il est avantageux de noter les unités d'aires de cette manière et de considérer les unités comme si elles étaient des symboles algébriques. Par exemple, si vous avez un rectangle ayant une aire de 6 m2 et faisant 2 m de large, alors le fait de calculer sa longueur comme valant (6 m2)/(2 m)=3 m fournit un résultat qui est logique à la fois numériquement et en terme d'unités. Ce traitement de type algébrique des unités assure également que nos méthodes de conversion d'unités fonctionnent de manière appropriée. Par exemple, si nous acceptons que la fraction
représente une manière valide d'écrire le chiffre un, alors puisque un fois un égal un, nous pouvons également dire que le chiffre un peut être représenté par
ce qui est la même chose que
Ceci signifie que le facteur de conversion des mètres carrés en centimètres carrés est un facteur de 104, c'est-à-dire qu'un mètre carré contient 104 centimètres carrés.
Tout ce que nous venons de dire peut aisément être appliqué à la notion de volume, en utilisant des blocs d'un centimètre cube à la place des carreaux sur un papier millimétré.
Pour de nombreuses personnes, il semble difficile de croire qu'un mètre carré est égal à 10\;000 centimètres carrés, ou qu'un mètre cube est égal à un million de centimètres cubes -- elles pensent qu'il serait plus logique qu'il y ait 100 cm2 dans 1 m2, et 100 cm3 dans 1 m3, mais cela serait erroné. Les exemples indiqués dans la figure ont pour objectif de rendre la réponse correcte plus crédible, en employant les unités américaines traditionnelles en pieds et en yards. (Un pied (ft) fait 12 pouces et un yard (yd) fait trois pieds.)
\widefigsidecaption{t}{yd2-yd3}{Visualisation des conversions d'aire et de volume avec les unités américaines traditionnelles.}{labeled}{h}{float}{}{ch00/figs}
self-check:
D'après la figure , essayez de vous persuader qu'il y a 9 ft2 dans un yard carré, et 27 ft3 dans un yard cube, démontrez alors la même chose symboliquement (c'est-à-dire avec la méthode faisant appel aux fractions égales à un).
(answer in the back of the PDF version of the book)
”Discussion Question”
◊
A Combien de centimètres carrés y-a-t-il dans un pouce carré ? (1 pouce = 2,54 cm) Trouvez d'abord une réponse approximative en faisant un dessin, puis déduisez le facteur de conversion de manière plus exacte en utilisant la méthode symbolique.
Proportionnalité de l'aire et du volume
Les grosses puces ont sur le dos des petites puces qui les piquent
Et les petites puces ont des puces encore plus petites,...
Et ainsi de suite à l'infini. -- Augustus De Morgan
Maintenant, comment effectuer ces conversions d'aire et de volume associées aux questions que j'ai posées concernant la taille des êtres vivants ? Bien, imaginez que vous soyez rétréci comme Alice aux Pays des Merveilles jusqu'à la taille d'un insecte. Une manière de réfléchir sur le changement d'échelle est que, ce qui d'habitude paraissait faire un centimètre, ressemble maintenant peut-être à un mètre pour vous, parce que vous êtes tellement plus petit. Si les échelles d'aire et de volume s'accordaient aux attentes intuitives et incorrectes de la plupart des gens, avec 1 m2 étant identique à 100 cm2, alors il n'y aurait aucune raison particulière qui expliquerait pourquoi la nature se comporte différemment à votre nouvelle échelle réduite. Mais la nature se comporte vraiment différemment maintenant que vous êtes petit. Par exemple, vous vous apercevrez que vous pouvez marcher sur l'eau, et faire des sauts jusqu'à plusieurs fois votre propre hauteur. Le physicien Galilée eut la présence d'esprit fondamentale que la détermination de l'échelle de l'aire et du volume conditionne la manière dont les phénomènes naturels se comportent diversement aux échelles différentes. Il raisonna d'abord sur les structures mécaniques, mais extrapola par la suite ses pensées aux êtres vivants, empruntant alors le point de vue radical qu'au niveau élémentaire, un organisme vivant devrait suivre les mêmes lois de la nature qu'une machine. Nous allons suivre ses traces en discutant d'abord des machines puis des êtres vivants.
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\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(11.4mm,\paperheight-155mm)
\fig{galileo}{Galilée (1564-1642).}{}{ch00/figs}
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Le comportement de la nature aux grandes et petites échelles, selon Galilée
Une des {\oe}uvres de littérature scientifique la plus célèbre dans le monde sont les Discours et démonstrations mathématiques concernant deux sciences nouvelles de Galilée. Galilée était un auteur divertissant qui cherchait à expliquer les choses le plus clairement possible aux néophytes, et il égaya son {\oe}uvre en le construisant sous la forme d'un dialogue entre trois personnes. Salviati représente en fait l'alter ego de Galilée. Simplicio possède une nature stupide, et l'une des raisons pour laquelle Galilée eu des démêlés avec l'Église fut qu'il y avait des rumeurs qui disaient que Simplicio représentait le Pape. Sagredo est l'élève sincère et perspicace, avec lequel le lecteur est supposé s'identifier. (Les extraits qui suivent sont tirés de la traduction de Maurice Clavelin ({\copyright} Éditions PUF, 1995).)
Sagredo:
C'est bien cela, et je pense surtout à ses dernières paroles où j'ai toujours vu la marque d'une opinion populaire erronée : à savoir que pour ces machines et d'autres semblables, il ne faut pas raisonner directement des petites aux grandes, beaucoup de projets réussissant à une petite échelle qui ne peuvent prendre corps à une plus grande. Or les démonstrations mécaniques ont leur fondement dans la géométrie où ni la grandeur ni la petitesse ne confèrent aux cercles, aux triangles, aux cylindres, aux cônes et à toute autre figure solide, tantôt certaines propriétés et tantôt certaines autres ; si donc la grande machine reproduit dans toutes ses parties les proportions de la plus petite, je ne vois pas, à supposer que cette dernière soit solide et résiste aux efforts qui lui sont demandés, pourquoi la plus grande, de son côté, ne sortirait pas intacte des situations dangereuses et éprouvantes dans lesquelles elle peut se trouver placée.
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\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(154.4mm,\paperheight-255.5mm)
\fig{boat-1}{Le petit bateau se maintient juste parfaitement.}{}{ch00/figs}
\fig{boat-2}{Un bateau plus grand, bâti dans les mêmes proportions que le petit, cèdera sous son propre poids.}{}{ch00/figs}
\fig{boat-3}{Un bateau de cette grandeur doit avoir des solives plus épaisses comparées à sa taille.}{}{ch00/figs}
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Salviati s'oppose à Sagredo :
Salviati:
... Remarquez à ce propos, seigneur Sagredo et vous aussi seigneur Simplicio, combien il suffit de peu de chose pour que les propositions vraies, si improbables qu'elles soient au premier abord, se débarrassent des voiles qui les obscurcissaient, et ainsi mises à nu révèlent pour notre joie leurs secrets. Qui ne voit qu'un cheval se rompra les os, s'il tombe d'une hauteur de trois ou quatre coudées, mais qu'un chien, dans les mêmes conditions, ou un chat tombant d'une hauteur de huit ou dix coudées, ne se feront aucun mal, pas plus qu'un grillon lâché d'une tour ou une fourmi se précipitant depuis l'orbe lunaire ?
La remarque que fait ici Galilée, c'est que les choses les plus petites sont plus robustes en proportion de leur taille. Nous pourrions, cependant, soulever de nombreuses objections. Après tout, qu'est-ce que cela signifie vraiment pour quelque chose d'être \og résistant {\fg}, d'être \og robuste proportionnellement à sa taille {\fg} ou d'être robuste \og sans aucune proportion de sa taille {\fg} ? Galilée n'avait pas donné de définition opérationnelle aux concepts tel que la \og solidité {\fg}, c'est-à-dire des définitions qui précisent comment les mesurer numériquement.
De la même manière, un chat possède une silhouette différente de celle d'un cheval -- une photographie agrandie d'un chat ne pourrait pas être considérée par erreur comme étant un cheval, même si les experts en trucage photo du National Enquirer1 lui donnaient l'impression qu'une personne était en train de le chevaucher sur son dos. Une sauterelle n'est pas non plus un mammifère, et elle possède un exosquelette à la place d'un squelette interne. Toute cette argumentation serait beaucoup plus convaincante si nous pouvions isoler certaines variables, une expression scientifique qui signifie changer une chose seulement à un instant donné, l'extraire des autres variables qui pourraient avoir un effet. Si la taille est la variable dont nous souhaitons étudier les effets, alors en vérité nous ne devons pas chercher à comparer des choses qui sont différentes en taille mais également différentes sous d'autres aspects.
Salviati:
... Nous cherchions à découvrir pourquoi on [les bâtisseurs de navires] dressait autour de cette galéasse, en attente de lancement, un ensemble de supports, échafaudages et autres appareils de soutènement, bien plus importants que pour les navires plus petits ; n'avait-il [un vieil homme] pas répondu qu'on le faisait pour éviter qu'elle se rompe, écrasée par le poids de son énorme masse, alors que les bâtiments plus petits sont exempts de cet inconvénient ?
Après cette introduction divertissante mais non scientifiquement rigoureuse, Galilée commence à faire quelque chose d'intéressant à l'aide de mesures modernes. Il simplifie toutes choses en portant son attention sur la solidité d'une planche en bois. Les variables impliquées peuvent alors se limiter à l'essence du bois, la largeur, l'épaisseur et la longueur. Il fournit également une définition opérationnelle de ce qu'il entend par le fait que la planche possède une certaine robustesse \og proportionnellement à sa taille {\fg}, en introduisant la notion d'une planche qui est celle la plus longue possible qui ne se briserait pas sous son propre poids si elle était maintenue à une extrémité. Si vous accroissez sa longueur de la quantité la plus infime, sans accroître sa largeur ni son épaisseur, elle cassera. Il stipule que si une planche possède la même forme qu'une autre mais une taille différente, apparaissant comme une photographie rétrécie ou agrandie de la première, alors celles-ci sont dites robustes \og proportionnellement à leurs tailles {\fg} si elles sont toutes les deux tout juste capables de supporter leur propre poids.
\widefig[h]{galileo-plank}{1. Cette planche est aussi longue qu'elle puisse être sans céder sous son propre poids. Si elle était plus longue d'un centième de centimètre, elle se briserait. 2. Cette planche est constituée de la même essence de bois. Elle est deux fois plus épaisse, deux fois plus longue et deux fois plus large. Elle s'effondrera sous son propre poids.}{}{labeled}{ch00/figs}
Galilée fait également quelque chose qui serait discréditée dans la science moderne : il mélange des expériences dont il a véritablement observé les résultats (la construction de navires de différentes tailles), avec des expériences qu'il n'aurait jamais pu effectuer (le lâcher d'une fourmi de la hauteur de la Lune). Il relate ensuite comment il a mené les expériences réelles avec ces planches, et découvre, en accord avec sa définition opérationnelle, qu'elles ne sont pas robustes proportionnellement à leurs tailles. La plus grosse se brise. Il veut être sûr de communiquer au lecteur quelle est l'importance de ce résultat, par la réponse stupéfaite de Sagredo :
Sagredo:
Déjà la tête me tourne, et mon esprit, comme un nuage qu'un éclair déchire brusquement, se remplit pour un instant d'une lumière inhabituelle qui de loin me laisse entrevoir, pour les estomper et les cacher aussitôt, des idées étranges et désordonnées. Car de vos propos il me semble que l'on devrait conclure à l'impossibilité d'exécuter à l'aide d'un même matériau deux constructions, à la fois semblables et inégales, et dont les résistances seraient proportionnellement identiques.
Autrement dit, cette expérience spécifique qui fait appel à des objets tels que des planches en bois, qui n'ont aucun intérêt scientifique en tant que tel, possède de vastes implications parce qu'elle soulève un principe général, que la nature agit différemment à des échelles différentes.
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\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(154.4mm,\paperheight-255.5mm)
\fig{clay}{Galilée discute de planches faites de bois, mais ce concept peut être plus facile à imaginer avec de l'argile. Les trois tiges en argile dans la figure avaient la même forme à l'origine. Celle de taille moyenne était deux fois plus haute, deux fois plus longue et deux fois plus large que la petite, et de manière analogue la plus grosse était deux fois plus grande que la moyenne dans toutes ses dimensions linéaires. La grosse tige a quatre fois les dimensions linéaires de la petite, 16 fois l'aire de la section lorsqu'elle est coupée perpendiculairement à la page, et 64 fois le volume. Cela signifie que la grosse possède 64 fois plus de poids à supporter, mais seulement 16 fois plus de robustesse comparé à la plus petite.}{}{ch00/figs}
\end{textblock*}\end{margin}
Pour clore la discussion, Galilée donne une explication. Il dit que la robustesse d'une planche (définie comme, disons, le poids du rocher le plus lourd que vous puissiez placer sur l'extrémité sans la briser) est proportionnelle à l'aire de sa section, c'est-à-dire l'aire de la surface de bois neuf qui serait exposée si vous l'aviez sciée au milieu. Son poids, toutefois, est proportionnel à son volume2.
Comment le volume et l'aire de la section de la planche la plus longue se comparent-t-ils avec ceux de la planche la plus courte ? Nous avons déjà vu, pendant la discussion sur les conversions des unités d'aire et de volume, que ces quantités n'agissent pas de la manière à laquelle s'attendrait naïvement la majorité des gens. Vous pourriez penser que le volume et l'aire de la planche la plus longue seraient toutes les deux doublées par rapport à la planche la plus courte, de telle sorte qu'elles augmenteraient en proportion l'une et l'autre, et que la planche la plus longue serait toute aussi capable de supporter son poids. Vous auriez tort, mais Galilée sait que c'est une fausse idée courante, ainsi il laisse à Salviati le soin de décrire spécialement ce point :
Salviati:
... Je vais vous expliquer sur un exemple. Imaginez donc un dé à jouer dont chaque arête a deux pouces de long ; chacune de ses faces représentera quatre pouces carrés, et les six faces, c'est-à-dire sa surface entière, vingt-quatre pouces carrés ; supposez ensuite que ce même dé, après avoir été scié trois fois [selon trois plans perpendiculaires], est divisé en huit petits dés : chaque face, ayant une arête longue d'un pouce, vaudra un pouce carré, et la surface entière de chaque dé représentera six pouces carrés, alors que la surface du dé primitif en représentait vingt-quatre. Vous voyez ainsi que la surface d'un petit dé est le quart de la surface du grand dé (comme six est le quart de vingt-quatre) ; or il n'est que la huitième partie du grand dé : le volume, et du même coup le poids, diminue donc beaucoup plus vite que la surface... Vous voyez bien, seigneur Simplicio, que je n'avais pas tort quand je vous disais... que la surface d'un solide plus petit est comparativement plus importante que celle d'un solide plus grand.
Le même raisonnement s'applique aux planches. Même si ce ne sont pas des cubes, la plus grande peut être sciée en huit plus petites, chacune faisant la moitié de la longueur, la moitié de l'épaisseur et la moitié de la largeur. Ainsi, la petite planche possède une aire plus importante proportionnellement à son poids, et est par conséquent capable de supporter son propre poids tandis que la grande se brise.
Proportion de l'aire et du volume pour des objets de forme irrégulière
Vous n'allez probablement pas prêter confiance dans l'affirmation de Galilée que tout ceci possède des implications profondes pour toute la nature, à moins que vous soyez convaincu que la même chose est vraie pour n'importe quelle forme. Tous les dessins que vous avez vus jusqu'à présent ont été faits à partir de carrés, de rectangles et de solides rectangulaires. Manifestement, le raisonnement sur le découpage des choses en morceaux plus petits ne pourrait rien prouver concernant, disons, un {\oe}uf, qui ne peut pas être coupé en huit objets plus petits en forme d'{\oe}uf faisant la moitié de la longueur.
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\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(11.4mm,\paperheight-210mm)
\fig{violin}{L'aire d'une forme est proportionnelle au carré de ses dimensions linéaires, même si celle-ci est irrégulière.}{}{ch00/figs}
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Est-il toujours vrai que quelque chose moitié moins grand possède le quart de l'aire et le huitième du volume, même s'il a une forme irrégulière ? Prenez par exemple le violon d'un enfant. Les violons sont conçus pour les enfants dans une taille réduite afin de s'adapter à leurs corps plus petits. La figure indique un violon de taille normale, par rapport à deux violons faisant la moitié et les 3/4 de la longueur normale3. Étudions l'aire de la surface des faces avant des trois violons.
Considérez le carré situé à l'intérieur de la façade du violon de taille normale. Dans celui de taille 3/4, sa hauteur et sa largeur sont tous deux inférieurs d'un facteur 3/4, donc l'aire du carré correspondant plus petit devient 3/4×3/4=9/16 du carré d'origine, et non pas 3/4 de l'aire de départ. De manière analogue, le carré associé au violon le plus petit fait la moitié de la hauteur et la moitié de la largeur de celui de référence, ainsi son aire est 1/4 de celui d'origine, et non pas la moitié.
Le même raisonnement s'applique pour des parties de la façade située près du bord, comme celle qui rempli une partie seulement de l'autre carré. Le carré entier se rétréci de la même manière que le carré situé à l'intérieur, et dans chaque violon la même proportion (environ 70\,%) du carré est rempli, donc la contribution de cette partie à l'aire totale se réduit en proportion identique.
Puisque n'importe quelle petite région carrée ou n'importe quelle petite région recouvrant une partie d'un carré rétrécit comme un objet carré, l'aire de la surface complète d'un objet de forme irrégulière varie de la même manière que l'aire d'un carré : le réduire de 3/4 diminue l'aire d'un facteur 9/16, et ainsi de suite.
En général, nous pouvons voire qu'à chaque fois que deux objets possèdent la même forme, mais des dimensions linéaires distinctes (c'est-à-dire que l'un ressemble à une photo réduite de l'autre), le rapport de leurs aires est égal au rapport des carrés de leurs dimensions linéaires :
Remarquez qu'il importe peu de savoir comment nous choisissons de mesurer la taille linéaire L d'un objet. Dans le cas des violons, par exemple, elle pourrait avoir été mesurée verticalement, horizontalement, en diagonale, ou même du bas du trou de gauche en forme de f jusqu'au milieu du trou de droite en forme de f. Nous avons uniquement besoin de la mesurer de manière identique sur chaque violon. Puisqu'on suppose que toutes les parties se compriment ou s'agrandissent dans les mêmes proportions, le rapport L1/L2 est indépendant du moyen utilisé pour la mesure.
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\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(154.4mm,\paperheight-155.5mm)
\fig{muffin}{Le petit gâteau qui sort du four est trop chaud pour être mangé. Si on le sépare en quatre morceaux, cela augmente l'aire de sa surface tout en maintenant identique le volume total. Il refroidit plus vite à cause du rapport de la surface à son volume plus important. En général, les choses plus petites possèdent un rapport surface sur volume plus grand, mais dans cet exemple il n'existe pas de moyens faciles permettant de calculer précisément cet effet, parce que les petits morceaux n'ont pas la même forme que le gâteau d'origine.}{}{ch00/figs}
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Il est également essentiel de comprendre qu'il est complètement inutile de connaître une formule pour l'aire d'un violon. Il est possible seulement de dériver des formules élémentaires pour les aires de certaines figures comme les disques, les rectangles, les triangles, etc... mais cela n'entrave en rien le type de raisonnement que nous avons suivi.
Parfois il n'est pas commode de noter toutes les équations sous la forme de rapports, particulièrement lorsque nous voulons comparer plus de deux objets. Une manière plus concise de réécrire l'équation précédente est la suivante
A ∝ L2 .
Le symbole \og ∝ {\fg} signifie \og est proportionnel à {\fg}. Les scientifiques et les ingénieurs énoncent souvent verbalement ces relations en employant des phrases telles que \og varie comme {\fg} ou \og croît comme {\fg}, par exemple \og l'aire varie comme le carré de la longueur {\fg}.
Tout le raisonnement précédent fonctionne aussi dans le cas du volume. Le volume croît comme le cube de la longueur :
V ∝ L3 .
Si des objets différents sont constitués du même matériau ayant la même densité ρ =m/V, alors leurs masses m=ρ V sont proportionnelles à L3, et il en est de même pour le poids. (Le symbole de la densité est ρ, la lettre grecque minuscule \og rho {\fg}.)
Un point important est que tout le raisonnement qui précède concernant les proportions s'applique uniquement aux objets qui possèdent la même forme. Par exemple, un morceau de papier est plus grand qu'un stylo, mais possède un rapport surface sur volume nettement plus important.
Une des premières choses que j'ai apprises en tant que professeur fut que les élèves ne sont pas très inventifs à propos des erreurs commises. Chaque promotion d'étudiants a tendance à révéler les mêmes écarts que la classe précédente. Voici certains exemples de raisonnements corrects et incorrects concernant la proportionnalité.
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\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(11.4mm,\paperheight-150mm)
\fig{eg-scale-triangle-1}{Exemple . Le grand triangle a quatre fois l'aire du petit.}{}{ch00/figs}
\fig{eg-scale-triangle-2}{Une manière astucieuse de résoudre l'exemple , décrite dans la solution n°2.}{}{ch00/figs}
\end{textblock*}\end{margin}
Example 2: Proportionnalité de l'aire d'un triangle
◊ Dans la figure , le grand triangle a des côtés deux fois plus longs. Son aire est combien de fois plus grande ?
Solution correcte n°1 : L'aire croît en proportion du carré des dimensions linéaires, donc le grand triangle possède une aire quatre fois plus grande (22=4).
Solution correcte n°2 : Vous pouvez couper le grand triangle en quatre de tailles plus petites, comme indiqué dans la figure , donc son aire est quatre fois plus grande. (Cette solution est correcte, mais elle ne fonctionnera pas pour une figure telle qu'un disque, qui ne peut pas être découpé en disques plus petits.)
Solution correcte n°3 : L'aire d'un triangle est donné par A=bh/2, où b est la base et h la hauteur. Les aires des triangles sont
(Bien que cette solution soit correcte, elle demande plus de calcul que la solution n°1, et peut être utilisée uniquement dans cette situation parce qu'un triangle est une forme géométrique élémentaire, et il se trouve que l'on connaît une formule pour son aire.)
Solution correcte n°4 : L'aire d'un triangle est A= bh/2. La comparaison des aires sera toujours la même si les rapports des tailles linéaires des triangles sont spécifiées, donc posons simplement b1=1,00 m et b2=2,00 m. Les hauteurs sont alors aussi h1=1,00 m et h2=2,00 m, donnant des aires A1=0,50 m2 et A2=2,00 m2, donc A2/A1=4,00.
(Cette solution est exacte, mais elle ne fonctionnera pas avec une figure pour laquelle nous ne connaissons pas de formule d'aire. Le calcul numérique pourrait également donner l'impression que la réponse 4,00 est inexacte, tandis que la solution n°1 fait clairement ressortir que c'est exactement 4.)
Solution incorrecte : L'aire d'un triangle est A=bh/2, et si vous remplacez par b=2,00 m et h=2,00 m, vous obtenez A=2,00 m2, donc le plus grand triangle possède une aire 2,00 fois plus grande. (Cette solution est incorrecte car aucune comparaison n'est faite avec le triangle le plus petit.)
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\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(154.4mm,\paperheight-155.5mm)
\fig{eg-scale-sphere}{Exemple . La grosse sphère possède un volume 125 fois plus gros que la petite.}{}{ch00/figs}
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Example 3: Proportionnalité du volume d'une sphère
◊ Dans la figure , la sphère la plus grosse possède un rayon qui est cinq fois plus grand. Son volume est combien de fois plus gros ?
Solution correcte n°1 : Le volume croît comme la puissance trois de la taille linéaire, donc la grosse sphère a un volume qui est 125 fois plus important (53=125).
Solution correcte n°2 : Le volume d'une sphère est V=(4/3)π r3, donc
Solution incorrecte : Le volume d'une sphère est V=(4/3)π r3, donc
(Cette solution n'est pas correcte parce que (5r1)3 n'est pas égal à 5r13.)
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\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(11.4mm,\paperheight-165.5mm)
\fig{eg-scale-letter-s}{Exemple . Le \og S {\fg} de 48 points a une aire 1,78 fois plus grande que le \og S {\fg} de 36 points.}{}{ch00/figs}
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Example 4: Proportions pour une figure plus complexe
◊ La première lettre \og S {\fg} dans la figure est dans une police de taille 36 points, le deuxième dans une taille 48 points. Il faut combien de fois plus d'encre pour imprimer le grand \og S {\fg} ? (Les points sont une unité de longueur utilisée en typographie.)
Solution correcte : La quantité d'encre est fonction de l'aire qui doit être recouverte d'encre, et l'aire est proportionnelle au carré des dimensions linéaires, donc la quantité d'encre requise pour le deuxième \og S {\fg} est plus grand d'un facteur (48/36)2=1,78.
Solution incorrecte : La longueur de la courbe du second \og S {\fg} est plus grande d'un facteur 48/36=1,33, donc il faut 1,33 fois plus d'encre.
(La solution est fausse parce qu'elle suppose de manière erronée que la largeur de la courbe est la même dans les deux situations. En vérité, la largeur et la longueur de cette courbe sont toutes les deux plus grandes d'un facteur 48/36, donc l'aire est plus grande d'un facteur (48/36)2=1,78.)
”Discussion Questions”
◊
Un jouet qui représente une voiture de pompiers fait 1/30ème de la taille de la véritable, mais il est construit avec le même métal et dans les mêmes proportions. Son poids est combien de fois plus petit ? Il faut combien de fois moins de peinture rouge pour la peindre ?
◊
Galilée consacra beaucoup de temps dans ses dialogues à discuter sur ce qui se passe réellement lorsque les choses se brisent. Il présenta toute sa discussion selon l'explication d'Aristote, qui est dorénavant rejetée, qui stipule que les choses sont dures à casser parce que si quelque chose casse, il doit y avoir une brèche entre les deux moitiés avec aucune substance entre elles, du moins au départ. La nature, selon Aristote, \og a horreur du vide {\fg}, c'est-à-dire que la nature \og n'aime pas {\fg} qu'un espace vide se forme. Bien sûr, l'air s'engouffrera immédiatement dans cet espace vacant, mais au moment précis de la brisure, Aristote imaginait qu'il y a du vide dans cet espace. L'explication d'Aristote sur le fait qu'il est difficile de briser les choses est-elle une proposition expérimentalement vérifiable ? Si oui, comment pourrait-on la tester par l'expérience ?
Évaluations d'ordres de grandeur
C'est le signe d'un esprit éduqué, que de se contenter du degré de précision que la nature du sujet admet et de ne pas rechercher l'exactitude lorsque seulement une approximation de la vérité est possible. -- Aristote
Une fausse idée courante considère que la science doit être exacte. Par exemple, dans la série TV Star Trek, il arrivait souvent que le Capitaine Kirk demande à Mr. Spock : \og Spock, nous sommes dans une situation qui se présente plutôt mal. À combien estimez-vous nos chances de nous dépêtrer d'ici ? {\fg} Mr. Spock, le scientifique, répondait par quelque chose comme : \og Capitaine, je pense que la probabilité est de 237\;345 pour un. {\fg} En réalité, il ne pouvait pas estimer les chances de sortie avec six chiffres significatifs de précision, mais malgré tout l'un des signes distinctifs d'une personne dotée d'une honnête éducation en science, c'est l'aptitude à faire des estimations qui se trouvent probablement quelque part, au moins, dans le camp de la vérité. Dans de nombreuses situations identiques, il est souvent nécessaire d'obtenir une réponse qui ouvre la voie dans une direction donnée par guère plus d'un facteur de dix seulement. Puisqu'on dit des choses qui diffèrent d'un facteur de dix, qu'ils diffèrent d'un ordre de grandeur, une telle évaluation est appelée une estimation d'ordre de grandeur. Le tilde ∼, est utilisé pour indiquer que les choses sont du même ordre de grandeur seulement, mais pas exactement égales, comme dans
Le tilde peut aussi être utilisé devant un nombre individuel pour souligner le fait que ce nombre est du bon ordre de grandeur seulement.
Bien que la production d'estimations d'ordres de grandeurs paraisse simple et naturelle aux scientifiques expérimentés, c'est un mode de raisonnement qui est complètement inhabituel à la plupart des élèves du premier cycle. Certaines des étapes mentales caractéristiques peuvent être illustrées dans l'exemple qui suit.
Example 5: Coût de transport des tomates
◊ Quel pourcentage environ du prix d'une tomate provient du coût de son transport par un camion ?
◊ La solution incorrecte qui suit illustre l'une des principales sources d'erreur dans les estimations d'ordres de grandeur.
Solution incorrecte : Supposons que le transporteur ait besoin de réaliser un profit de 400 \euro{} sur ce transport. En prenant en compte son bénéfice, le coût du carburant, la maintenance et l'amortissement du camion, on estime que le coût total s'approche des 2\;000 \euro{}. Je suppose qu'environ 5\;000 tomates peuvent se loger dans la remorque du camion, donc le coût supplémentaire par tomate est de 40 centimes. Cela signifie que le coût de transport d'une tomate est comparable au coût de la tomate elle-même. J'estime donc que le transport augmente considérablement le coût du produit.
Le problème est que le cerveau humain n'est pas vraiment performant dans l'estimation de l'aire ou du volume, ainsi il apparaît que l'évaluation de 5\;000 tomates qui peuvent se loger dans le camion fait fausse route. C'est pourquoi les gens montrent beaucoup de difficultés lors de concours où vous êtes supposés estimer le nombre de bonbons qu'il y a dans une grande bonbonnière. Un autre exemple est que la majorité des individus pense que sa famille consomme environ 38 litres d'eau par jour, mais en réalité la moyenne se situe à 400 litres environ par jour. Lors de l'estimation de l'aire ou du volume, vous êtes nettement plus à l'aise pour estimer les dimensions linéaires, et ensuite calculer le volume à partir de celles-ci. Voici une meilleure solution :
Solution meilleure : Comme dans la solution précédente, admettons que le coût de transport soit de 2\;000 \euro{}. Les dimensions de la remorque sont probablement de 4 m × 2 m × 1 m, pour un volume de 8 m3. Puisque tout ce qui est demandé c'est uniquement une estimation de l'ordre de grandeur, arrondissons ceci à la puissance de dix la plus proche, soit 10 m3. La forme d'une tomate est complexe, et je ne connaît pas de formule pour le calcul du volume d'une tomate, mais puisque c'est juste une estimation, stipulons que celle-ci est un cube 0,05 m × 0,05 m × 0,05 m, pour un volume de 1,25×10-4 m3. Comme c'est juste une évaluation approximative, arrondissons-le à 10-4 m3. Nous pouvons découvrir le nombre total de tomates en divisant le volume de la remorque par le volume d'une tomate : 10 m3/10-4 m3=105 tomates. Le coût du transport par tomate est 2\;000 \euro{}/105 tomates=0,02\euro{}/tomate. Cela signifie qu'en vérité le transport ne contribue pas beaucoup dans le coût d'une tomate.
Le fait d'approcher la forme d'une tomate par celle d'un cube est un exemple d'une autre stratégie générale permettant d'effectuer des estimations d'ordre de grandeur. Une situation analogue se produirait si vous tentiez d'évaluer combien de m2 de cuir pourraient être produits à partir d'un troupeau bovin de dix milles bêtes. Il n'est pas nécessaire d'essayer de prendre en compte la forme du corps des vaches. Une tactique raisonnable serait de considérer une vache sphérique. Une vache possède probablement à peu près la même surface qu'une sphère de rayon égal à 1 m environ, dont l'aire serait 4π (1 m)2. En utilisant le fait notoire que pi est égal à trois, et que quatre fois trois font environ dix, nous pouvons deviner que l'aire de la surface d'une vache fait environ 10 m2, donc le troupeau tout entier pourrait produire 105 m2 de cuir.
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\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(154.4mm,\paperheight-255.5mm)
\fig{spherical-cow}{Considérez une vache sphérique.}{}{ch00/figs}
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La liste qui suit résume les différentes stratégies pour faire une bonne estimation d'ordre de grandeur :
- N'essayez jamais d'avoir plus d'un chiffre significatif de précision.
- Ne devinez pas l'aire, le volume ou la masse directement. Évaluez d'abord les dimensions linéaires puis obtenez l'aire, le volume ou la masse à partir de ceux-ci.
- Lorsque vous avez affaire à des aires ou des volumes d'objets ayant des formes complexes, imaginez-les comme s'ils étaient de forme plus simple, un cube ou une sphère par exemple.
- Vérifiez votre réponse finale pour voir si elle est raisonnable. Si vous estimez qu'un troupeau de dix milles vaches pourrait produire 0,01 m2 de cuir, alors vous avez probablement fait une erreur quelque part dans les facteurs de conversion.
Homework Problems
1.
Utilisation correcte d'une calculatrice : (a) Calculez
sur une calculatrice. [Indice : l'erreur la plus courante donne 97555,40.](answer check available at lightandmatter.com)
(b) Qu'est-ce qui serait plus proche du prix d'un téléviseur, et qu'est-ce qui serait plus proche du prix d'une maison : 3.5×105 \euro{} ou 3.55 \euro{} ?
2.
Calculez les données suivantes. Si elles n'ont aucun sens à cause des unités, exprimez-le.
(a) 3 cm + 5 cm
(b) 1,11 m + 22 cm
(c) 120 kilomètres + 2,0 heures
(d) 120 kilomètres / 2,0 heures
3.
Le jardin derrière votre maison a, des deux côtés, des murs en briques. Vous mesurez une distance de 23,4 m de l'intérieur d'un mur à l'intérieur de l'autre. Chaque mur fait 29,4 cm d'épaisseur. Quelle distance y-a-t-il entre l'extérieur d'un mur et l'extérieur de l'autre ? Faites attention aux chiffres significatifs.
4.
La vitesse de la lumière est de 3,0×108 m/s. Convertissez-la en furlongs par fortnight. Un furlong fait 220 yards et un fortnight fait 14 jours. Un yard fait 36 pouces et un pouce fait 2,54 cm.(answer check available at lightandmatter.com)
5.
Exprimez chacune des quantités suivantes en microgrammes :
(a) 10 mg, (b) 104 g, (c) 10 kg, (d) 100×103 g, (e) 1\;000 ng. (answer check available at lightandmatter.com)
6.
(solution in the pdf version of the book) Convertissez 134 mg en kg, en écrivant votre réponse en notation scientifique.
7.
Au cours du siècle dernier, la moyenne d'âge du début de la puberté chez les filles a diminué de plusieurs années. Une rumeur a proclamé que c'est à cause des hormones qu'on donne dans l'alimentation des b{\oe}ufs, mais il est plus vraisemblable que ce soit dû au fait que les filles aujourd'hui sont plus corpulentes en moyenne, et probablement à cause de la présence de produits chimiques qui imitent l'{\oe}strogène dans l'environnement, issus de résidus de pesticides. Un hamburger produit à partir d'un veau traité aux hormones possède environ 0,2 ng d'{\oe}strogène (à peu près le double de la quantité du b{\oe}uf naturel). Une ration de petits pois contient environ 300 ng d'{\oe}strogène. Une femme adulte produit environ 0,5 mg d'{\oe}strogène par jour (remarquez l'unité différente !). (a) Combien d'hamburgers une fille devrait-elle manger en une journée pour consommer autant d'{\oe}strogène que la production quotidienne d'une femme adulte ? (b) Combien de rations de petits pois ?(answer check available at lightandmatter.com)
8.
(solution in the pdf version of the book) La définition usuelle de la moyenne de deux nombres a et b est (a+b)/2. On l'appelle la moyenne arithmétique. La moyenne géométrique, par contre, est définie comme étant (ab)1/2 (c'est-à-dire la racine carrée de ab). Pour des besoins de précision, supposons que les deux nombres ont des unités de masse. (a) Calculez la moyenne arithmétique de deux nombres qui sont exprimés en grammes. Convertissez alors ces nombres en kilogrammes puis recalculez leur moyenne. La réponse est-elle cohérente ? (b) Faites de même pour la moyenne géométrique. (c) Si a et b sont tous les deux exprimés en grammes, que devrait être l'unité de ab ? Votre réponse a-t-elle toujours un sens lorsque vous considérez la racine carrée ? (d) Supposez que quelqu'un vous propose une troisième sorte de moyenne, appelée moyenne du super-dupeur, définie comme (ab)1/3. Est-elle raisonnable ?
9.
Dans un article sur l'épidémie de SRAS (syndrome respiratoire aigu sévère), le 7 mai 2003, le New York Times discute sur des estimations contradictoires concernant la période d'incubation de la maladie (le temps moyen qui s'écoule entre l'infection et les premiers symptômes). \og L'étude l'estime à 6,4 jours. Mais d'autres calculs statistiques... ont montré que la période d'incubation pourrait être longue de 14,22 jours. {\fg} Qu'est-ce qui est erroné ici ?
\begin{margin}{17}{7}{00}
\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(154.4mm,\paperheight-145.5mm)
\fig{pretzels}{Problème .}{}{ch00/figs}
\end{textblock*}\end{margin}
10.
La photo montre le coin d'un sachet de bretzels. (Il est mentionné : \og Poids Net 3 1/2 oz. (99,2 g) {\fg}. Oz. représente le symbole de l'once qui vaut 28,3495231 g. \ndt) Qu'est-ce qui est faux ici ?
11.
La distance à l'horizon est donnée par l'expression
, où r est le rayon de la Terre et h est la hauteur de l'observateur par rapport à la surface de la Terre. (On peut la démontrer en utilisant le théorème de Pythagore.) Montrez que les unités de cette expression sont cohérentes. N'essayez pas de démontrer le résultat, vérifiez simplement ses unités.
12.
(solution in the pdf version of the book) (a) En s'appuyant sur les définitions du sinus, du cosinus et de la tangente, que devraient être leurs unités respectives ?
(b) Une admirable formule de trigonométrie vous permet de trouver n'importe quel angle d'un triangle si vous connaissez les longueurs de ses côtés. En utilisant la notation indiquée dans la figure, et en posant s=(a+b+c)/2 comme étant la moitié du périmètre, nous obtenons
Montrez que les unités de cette équation sont cohérentes. Autrement dit, vérifiez que les unités du membre de droite sont les mêmes que celles de votre réponse à la partie (a) de la question.
\begin{margin}{18}{34}{00}
\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(154.4mm,\paperheight-95.5mm)
\fig{triangle-formula}{Problème .}{}{ch00/figs}
\end{textblock*}\end{margin}
13.
Une question d'un devoir de physique demande \og Si vous êtes au repos puis que vous accélérez à 1,54 m/s2 pendant 3,29 s, quelle distance avez-vous parcouru à la fin de cette durée ? {\fg} Un étudiant répond comme suit :
1,54 × 3,29 = 5,07 m
Sa tante Wanda est à l'aise avec les nombres, mais elle n'a jamais appris la physique. Elle ne connaît pas la formule de la distance parcourue sous une accélération constante pendant une certaine durée fixée, mais elle affirme à son neveu que sa réponse ne peut pas être bonne. Comment sait-elle cela ?
14.
Vous êtes en train de regarder dans un puits profond. Il fait noir, et vous ne pouvez pas en voir le fond. Vous voulez découvrir quelle est sa profondeur, donc vous lâchez une pierre dans celui-ci, et vous entendez un plouf 3,0 secondes plus tard. Quelle est la profondeur du puits ? (answer check available at lightandmatter.com)
15.
Vous faites un voyage dans votre vaisseau spatial, vers une autre étoile. En partant, vous augmentez votre vitesse en suivant une accélération constante. Une fois que vous avez atteint la moitié du trajet, vous commencez à décélérer, au même rythme, de telle sorte qu'au moment où vous arrivez, vous avez ralenti jusqu'à une vitesse nulle. Vous visitez les attractions touristiques, puis regagnez votre domicile par la même méthode.
(a) Trouvez une formule pour le temps T nécessaire pour ce voyage aller-retour, en fonction de d, la distance de notre soleil à l'étoile, et a la grandeur de l'accélération. Remarquez que l'accélération n'est pas constante tout au long de ce voyage, mais celui-ci peut être séparé en parties d'accélération constante.
(b) L'étoile la plus proche de la Terre (autre que notre Soleil) est Proxima du Centaure, elle est à une distance d=4×1016 m. Supposez que vous ayez une accélération a=10 m/s2, juste suffisante pour compenser l'absence de véritable gravité et faire en sorte que vous soyez à l'aise. Quelle est la durée du voyage aller-retour, en années ?
(c) En utilisant les mêmes nombres pour d et a, découvrez votre vitesse maximale. Comparez celle-ci à la vitesse de la lumière, qui est de 3,0×108 m/s. (Plus loin dans ce cours, vous apprendrez qu'il existe certains phénomènes nouveaux qui surgissent en physique lorsque nous nous approchons de la vitesse de la lumière, et qu'il est impossible de dépasser celle-ci. Pour l'instant, toutefois, faites simplement appel aux idées les plus simples que vous ayez apprises jusqu'à présent.)(answer check available at lightandmatter.com)
16.
Vous grimpez jusqu'au milieu d'un arbre, et vous laissez tomber une pierre. Vous montez ensuite jusqu'au sommet, et lâchez une autre pierre. De combien de fois la vitesse de la deuxième pierre lors de l'impact est-elle plus importante ? Expliquez. (La réponse n'est pas deux fois plus grande.)
17.
(solution in the pdf version of the book) Si l'accélération de la gravité sur Mars est 1/3 de celle sur Terre, de combien de fois le temps sera-t-il plus long si une pierre est lâchée de la même distance sur Mars ? Ignorez la résistance de l'air.
18.
Une personne effectue un saut en parachute. Pendant la durée qui s'écoule entre le moment où elle bondit hors de l'avion et le moment où elle ouvre son parachute, son altitude est donnée par une équation de la forme
où e est la base du logarithme népérien, et b, c et k sont des constantes. À cause de la résistance de l'air, sa vitesse n'augmente pas à un rythme régulier comme ce serait le cas pour un objet chutant dans le vide.
(a) Quelles unités doivent avoir b, c et k pour que l'équation reste cohérente ?
(b) Trouvez la vitesse v de la personne, en fonction du temps. (Vous aurez besoin d'employer la règle de dérivation en chaîne, et le fait que d(ex)/d x=ex.)(answer check available at lightandmatter.com)
(c) Utilisez votre réponse de la partie (b) pour obtenir une interprétation de la constante c. (Indice : e-x tend vers zéro pour des grandes valeurs de x.)
(d) Trouvez l'accélération a de la personne, en fonction du temps.(answer check available at lightandmatter.com)
(e) Utilisez votre réponse de la partie (b) pour montrer que si elle attend assez longtemps avant d'ouvrir son parachute, son accélération deviendra très petite.
19.
(solution in the pdf version of the book) En juillet 1999, la revue Popular Mechanics a effectué des tests pour découvrir quel véhicule vendu par un constructeur automobile important pourrait parcourir 402 mètres dans le laps de temps le plus court, en étant initialement au repos. À cause de cette distance qui est si courte, ce type de test est conçu principalement pour favoriser les véhicules ayant les plus fortes accélérations, et non les vitesses maximales les plus élevées (qui n'est pas intéressant pour le commun des mortels). Le gagnant fut la Dodge Viper, avec un temps de 12,08 s. La vitesse de pointe (et vraisemblablement la vitesse finale) du véhicule était de 52,98 m/s.
(a) Si une voiture, partant du repos et se déplaçant avec une accélération constante, parcourt 402 mètres durant cet intervalle de temps, quelle est son accélération ?
(b) Que serait la vitesse finale d'une voiture qui parcourt 402 mètres avec l'accélération constante que vous avez trouvé dans la partie (a) ?
(c) En vous fondant sur l'écart qu'il y a entre votre réponse de la partie (b) et la véritable vitesse finale de la Viper, que concluez-vous sur la façon dont son accélération varie au cours du temps ?
20.
La vitesse requise pour se maintenir sur une orbite terrestre basse est de 7,9×103 m/s (voir le chapitre 10). Lorsqu'une fusée est mise en orbite, elle monte un peu au départ pour se trouver au dessus de pratiquement toute l'atmosphère, puis s'incline alors horizontalement pour parvenir à la vitesse orbitale. Supposez que l'accélération horizontale soit limitée à 3g pour éviter d'endommager l'appareil (ou de blesser l'équipage pour un vol habité).
(a) Quelle est la distance minimale que la fusée doit traverser depuis la rampe de lancement avant qu'elle atteigne la vitesse orbitale ? Dans quelle mesure est-il important de prendre en compte la vitesse initiale dirigée vers l'est, due à la rotation de la Terre ?
(b) Au lieu de la trajectoire d'une fusée, il pourrait être avantageux d'utiliser une invention à base de canon à rails, dans laquelle la navette serait accélérée jusqu'aux vitesses orbitales le long d'un rail de chemin de fer. Ce procédé a l'avantage qu'il n'est pas nécessaire d'emporter une grande masse de carburant, car la source d'énergie est externe. En vous fondant sur la réponse donnée à la partie (a), commentez la plausibilité de cette invention pour des lancements habités depuis la surface terrestre.
21.
Considérez le passage suivant tiré d'Alice au pays des merveilles, dans lequel Alice est en train de tomber pendant longtemps dans un terrier de lapin :
Plus bas, encore plus bas, toujours plus bas. Est-ce que cette chute ne finirait jamais ? \og Je me demande combien de kilomètres j'ai pu parcourir ? {\fg} dit-elle à haute voix. \og Je ne dois pas être bien loin du centre de la terre. Voyons : cela ferait une chute de six à sept mille kilomètres, du moins je le crois... {\fg} (car, voyez-vous, Alice avait appris en classe pas mal de choses de ce genre, et, quoique le moment fût mal choisi pour faire parade de ses connaissances puisqu'il n'y avait personne pour l'écouter, c'était pourtant un bon exercice que de répéter tout cela)...
Alice ne savait pas grand chose en physique, mais tentons de calculer la durée que prendrait une chute de 6\;500 kilomètres, en partant du repos et avec une accélération de 10 m/s2. C'est vraiment une limite basse, uniquement : s'il y avait réellement un trou de cette profondeur, la chute durerait en fait plus longtemps que ce que vous avez calculé, à la fois parce qu'il y a le frottement de l'air et à cause du fait que plus vous êtes profond, plus la gravité devient faible (au centre de la Terre, g est nul parce que celle-ci vous tire de manière uniforme et simultanée dans toutes les directions).
22.
Combien de pouces cubes y-a-t-il dans un pied cube ? La réponse n'est pas 12.(answer check available at lightandmatter.com)
23.
Supposez que le cerveau d'un chien possède un diamètre deux fois plus grand que celui d'un chat, mais les cellules du cerveau de chaque animal sont de même taille et leurs cerveaux ont la même forme. En plus d'être un bien meilleur compagnon et d'être plus servile à la maison, un chien possède combien de fois plus de cellules cervicales qu'un chat ? La réponse n'est pas 2.
24.
La densité de la population de Los Angeles est d'environ
. Celle de San Francisco est d'environ
personnes/km2. En moyenne, de combien de fois une personne est-elle plus éloignée de son plus proche voisin à LA qu'à San Francisco ? La réponse n'est pas 1,5.(answer check available at lightandmatter.com)
25.
Le museau d'un chien de chasse possède environ 65 centimètres carrés de surface active. Comment cela peut-il se faire, puisque le museau d'un chien ne fait environ que 2 cm × 2 cm × 2 cm = 8
textcm3? ? Après tout, 65 est plus grand que 8, donc comment peut-on l'expliquer ?
26.
Estimez le nombre de brins d'herbe sur un terrain de football.
27.
Dans la puce mémoire d'un ordinateur, chaque bit d'information (un 0 ou un 1) est stocké dans un unique circuit minuscule gravé sur la surface d'une puce au silicium. Les circuits intégrés recouvrent la surface de la puce de la même façon que des lotissements recouvrent les parcelles de terre. Une puce typique emmagasine 64 Mo (méga-octets) d'informations, où un octet représente 8 bits. Estimez (a) l'aire de chaque circuit, et (b) sa taille linéaire.
28.
Imaginez que quelqu'un construise un gigantesque immeuble, mesurant 10 km × 10 km à sa base. Estimez quelle hauteur il devrait faire pour avoir suffisamment d'espace pour loger toute la population mondiale.
29.
Une chaîne de restauration rapide annonce qu'elle a vendu 10 milliards de Bongo Burgers. Estimez la masse totale de nourriture requise pour l'élevage des b{\oe}ufs utilisés pour faire les hamburgers.
30.
Évaluez le volume d'un corps humain, en cm3.
31.
(solution in the pdf version of the book) Combien de cm2 fait 1
textmm2? ?
32.
(solution in the pdf version of the book) Comparez les puissances de capture de la lumière d'un télescope de 3 cm de diamètre et d'un de 30 cm.
33.
(solution in the pdf version of the book) Un niveau sur l'échelle de Richter correspond à un facteur de 100 par rapport à l'énergie absorbée par un objet situé à la surface de la Terre, par exemple une maison. Ainsi, un tremblement de terre de magnitude 9,3 relâcherait 100 fois plus d'énergie qu'un autre de 8,3. L'énergie se propage depuis l'épicentre comme une onde, et pour les besoins de ce problème nous supposerons que nous avons affaire à des ondes sismiques qui se propagent en trois dimensions, de telle sorte que nous pouvons les imaginer comme des hémisphères qui se répandent sous la surface de la Terre. Si un certain séisme de magnitude 7,6 et un certain séisme de magnitude 5,6 produisent la même quantité de vibrations là où je vis, comparez les distances de ma maison aux deux épicentres.
34.
En Europe, une feuille de papier de taille standard, appelée A4, est un peu plus étroite et plus grande que son homologue américain. Le rapport de la hauteur à la largeur est la racine carrée de 2, et cela possède quelques propriétés utiles. Par exemple, si vous découpez une feuille A4 de la gauche vers la droite, vous obtenez deux feuilles plus petites qui ont les mêmes proportions. Vous pouvez même acheter des feuilles de cette taille réduite, et on les appelle A5. Il existe une liste complète de tailles reliées de cette manière, toutes avec les mêmes proportions.
(a) Comparez une feuille A5 à une A4 concernant l'aire et la taille linéaire.
(b) La liste des tailles de papier commence la feuille A0, qui possède une aire d'un mètre carré. Supposez que nous avions une série de boîtes définies de manière analogue : la boîte B0 possède un volume d'un mètre cube, deux boîtes B1 s'ajustent parfaitement à l'intérieur d'une boîte B0, et ainsi de suite. Quelles seraient les dimensions d'une boîte B0 ?(answer check available at lightandmatter.com)
\begin{margin}{19}{50}{00}
\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(11.4mm,\paperheight-225.5mm)
\fig{einstein}{Problème , Albert Einstein et sa moustache.}{}{ch00/figs}
\end{textblock*}\end{margin}
35.
Évaluez la masse d'un des poils de la moustache d'Albert Einstein, en kg.
36.
D'après une croyance populaire, chaque fois que vous prenez une respiration, vous inhalez certains des atomes expirés lors des dernières paroles de Jules César. Est-ce vrai ? Si oui, combien ?
37.
La surface de la Terre contient environ 70\,% d'eau. Le diamètre de Mars fait environ la moitié de celui de la Terre, mais il ne possède pas d'eau en surface. Comparez les aires occupées par la terre ferme, des deux planètes.(answer check available at lightandmatter.com)
38.
(solution in the pdf version of the book) Le verre de Martini traditionnel est en forme de cône avec la pointe située vers le bas. Supposez que vous concoctiez un Martini en versant du vermouth dans le verre sur 3 cm de profondeur puis que vous ajoutiez du gin pour atteindre une profondeur de 6 cm. Que sont les proportions de gin et de vermouth ?
39.
La région centrale d'un CD est occupée par l'orifice et du plastique clair tout autour, et cette aire est indisponible pour enregistrer des données. Le rayon du cercle central fait environ 35\;% du rayon de l'aire disponible pour le stockage. Quel pourcentage de l'aire du CD est par conséquent inutilisable ?(answer check available at lightandmatter.com)
40.
Le cube d'un litre, sur la photo, a été divisé en cubes plus petits, ayant les dimensions linéaires d'un dixième de ceux du grand. Quel est le volume de chacun de ces petits cubes ?(solution in the pdf version of the book)
\begin{margin}{20}{50}{00}
\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(11.4mm,\paperheight-145.5mm)
\fig{hw-liter-cube}{Problème .}{}{ch00/figs}
\fig{hw-e-coli}{Problème .}{}{ch00/figs}
\end{textblock*}\end{margin}
41.
Estimez le nombre d'heures de travail nécessaires pour construire la Grande muraille de Chine.(solution in the pdf version of the book)
42.
(a) Utilisez la photo au microscope de la figure, estimez la masse d'une seule cellule de la bactérie E. coli, laquelle est l'une des plus courantes présentes dans les intestins de l'homme. Remarquez l'échelle donnée dans le coin en bas à droite, qui représente 1 μm. Chacun des objets tubulaires dans la colonne représente une cellule.
(b) Les matières fécales dans les intestins humains sont principalement des bactéries (certaines sont mortes, d'autres en vie), parmi lesquelles E. coli est un constituant majoritaire et caractéristique. Estimez le nombre de bactéries présentes dans vos intestins, et comparez-le avec le nombre de cellules humaines présentes dans votre corps, qu'on peut imaginer comme étant grosso modo de l'ordre de 1013.
(c) En interprétant votre résultat de la partie (b), qu'est-ce que cela vous indique concernant la taille d'une cellule humaine typique comparé à la taille d'une cellule bactérienne typique ?
\begin{margin}{21}{0}{00}
\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(154.4mm,\paperheight-200.5mm)
\fig{hw-droppingballs}{Problème .}{}{ch00/figs}
\end{textblock*}\end{margin}
43.
La figure montre une expérience simple et pratique permettant de déterminer g avec une grande précision. Deux billes en acier sont suspendues avec des électro-aimants, et sont relâchées simultanément lorsque le courant électrique est coupé. Elles chutent le long de hauteurs inégales Δ x1 et Δ x2. Un ordinateur enregistre les sons par le truchement d'un microphone, lorsque la première bille puis l'autre heurtent le sol. À partir de cet enregistrement, nous pouvons déterminer de manière fiable la quantité T définie comme T=Δ t2-Δ t1, c'est-à-dire le retard temporel entre le premier impact et le second. Remarquez que puisque les billes ne produisent aucun son lorsqu'elles sont libérées, nous n'avons aucun moyen de mesurer les durées individuelles Δ t2 et Δ t1.
(a) Trouvez une équation pour g en fonction des quantités mesurées T, Δ x1 et Δ x2.(answer check available at lightandmatter.com)
(b) Vérifiez les unités de votre équation.
(c) Vérifiez que votre équation fournit le résultat correct dans le cas où Δ x1 est très proche de zéro. Cependant, cette situation est-elle réaliste ?
(d) Qu'est-ce qui se passe lorsque Δ x1=Δ x2 ? Discuter à la fois sur le plan mathématique et physique.
