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Élégante Nature by Benjamin Crowell

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Contents

Chapter 2 - Conservation de l'Énergie

Do you pronounce it Joule's to rhyme with schools,
Joule's to rhyme with Bowls,
or Joule's to rhyme with Scowls?
Whatever you call it, by Joule's,
or Joule's,
or Joule's, it's good! -- Slogan publicitaire de la brasserie Joule. Ce nom, et l'unité correspondante de l'énergie, sont dorénavant couramment prononcés de telle sorte qu'ils riment avec \og school {\fg}.

Énergie

Le concept d'énergie

\begin{margin}{1}{155}{02}

\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(154.4mm,\paperheight-223.5mm)

\fig{joule}{James Joule, 1818-1889. Fils d'un riche brasseur, Joule fut instruit lors de son adolescence par le célèbre scientifique John Dalton. Fasciné par l'électricité, il expérimenta avec son frère en se donnant l'un à l'autre des décharges électriques ainsi qu'aux domestiques de la maison. Devenu adulte, Joule dirigea la brasserie, et la science demeura simplement un passe-temps favori. Son travail sur l'énergie peut être retracé dans sa tentative de construire un moteur électrique qui pourrait remplacer les machines à vapeur. Ses idées ne furent pas acceptées dans un premier temps, en partie parce qu'elles contredisaient la croyance répandue que la chaleur était un fluide, et en partie parce qu'elles dépendaient de mesures extrêmement précises, ce qui n'était encore pas courant en physique.}{}{ch02/figs}

\end{textblock*}\end{margin}

Vous aimeriez probablement être capable de conduire votre voiture et éclairer votre appartement sans avoir à donner de l'argent pour le carburant et l'électricité, et si vous naviguez un peu sur le Web, vous pouvez facilement trouver des gens qui affirment qu'ils détiennent la solution à votre problème. Cette espèce d'escroquerie est restée un sujet d'actualité pendant des siècles. On la connaît sous le nom de machine à mouvement perpétuel, mais de nos jours l'expression favorite des artistes de la duperie est l'\og énergie libre {\fg}¹. Une machine à \og énergie libre {\fg}} représentative serait une boîte hermétique qui réchauffe votre maison sans avoir besoin de la brancher dans une prise murale ni une pompe à essence. La chaleur en ressort, mais rien ne rentre, et ceci peut perdurer indéfiniment. Mais une chose intéressante se produit si vous essayez de contrôler la performance annoncée de cette machine. De façon caractéristique, vous découvrirez que soit cet appareil est toujours en cours de développement, soit il est en rupture de stock parce que de nombreuses personnes ont déjà profité de cette Opportunité Fantastique ! Dans quelques cas, la boîte magique existe, mais son inventeur est disposé uniquement à montrer les quantités infimes de production de chaleur pendant de brèves durées, situations qui nous conduisent à dire qu'il y a certainement une minuscule pile d'appareil auditif cachée quelque part dedans, ou une certaine autre astuce.

Puisque personne n'est jamais parvenu à construire un dispositif qui produit de la chaleur à partir de rien, nous pourrions également nous interroger sur le fait qu'un dispositif qui peut faire le contraire, c'est-à-dire transformer la chaleur en rien, puisse exister. Vous pourriez croire qu'un réfrigérateur constitue un tel dispositif, mais en réalité votre réfrigérateur ne détruit pas la chaleur présente dans les aliments. Ce qu'il fait vraiment, c'est d'extraire une partie de la chaleur et de l'envoyer dans la pièce. Cela explique pourquoi il possède un gros radiateur à l'arrière, qui se réchauffe lorsqu'il est en fonctionnement.

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\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(11.4mm,\paperheight-255.5mm)

\fig{irface}{L'énergie thermique peut être convertie en énergie lumineuse. Des objets très chauds rougeoient de manière visible, et même des objets qui ne sont pas aussi chauds émettent de la lumière infrarouge, une couleur de la lumière qui se situe au-delà de la dernière nuance de rouge de l'arc-en-ciel visible. Cette photo fut réalisée avec un appareil photo spécial qui enregistre la lumière infrarouge. La peau chaude de l'homme émet une quantité significative d'énergie lumineuse infrarouge, tandis que ses cheveux, à une température plus basse, en émettent moins.}{}{\figprefix\chapdir/figs}

\end{textblock*}\end{margin}

S'il n'est pas possible de détruire ou de créer sur-le-champ de la chaleur, alors vous pouvez commencer à suspecter que celle-ci est une quantité conservée. Ce serait une loi qui expliquerait avec succès certains processus, comme le transfert de chaleur entre un Martini glacé et une olive à température ambiante : si l'olive perd un peu de chaleur, alors la boisson doit se réchauffer d'autant. Cependant, cette loi ne serait pas vérifiée en général. La lumière du soleil peut réchauffer votre peau, par exemple, et le filament incandescent d'une ampoule peut se refroidir en émettant de la lumière. En se fondant sur ces observations, nous pouvons revoir notre suggestion de loi de conservation, et dire qu'il y a quelque chose que l'on appelle chaleurpluslumière, qui est conservée. Même cela, néanmoins, nécessite d'être généralisé afin d'expliquer pourquoi vous pouvez avoir une brûlure douloureuse en jouant au base-ball lorsque vous glissez sur un piquet. Maintenant, nous pouvons l'appeler chaleurpluslumièreplusmouvement. Ce mot commence à devenir assez long, et nous n'avons pas encore terminé l'énumération.

Plutôt que de rendre ce terme de plus en plus long, les physiciens ont détourné le mot \og énergie {\fg} de son usage ordinaire, et lui ont attribué une nouvelle signification technique particulière. De même que le kilogramme parisien en platine--iridium définit une unité spécifique de masse, nous avons besoin de sélectionner quelque chose qui définisse une unité précise de l'énergie. L'unité métrique de l'énergie est le joule (J), et nous la définirons comme la quantité d'énergie requise pour réchauffer 0,24 grammes d'eau de 20 à 21 degrés Celsius. (N'apprenez pas les nombres par c{\oe}ur².)

\newpage

Example 1: Température d'un mélange

◊

Si 1,0 kg d'eau à 20°C{} est mélangé avec 4,0 kg d'eau à 30°C{}, quelle est la température du mélange ?

◊

Supposons, par approximation, que chaque degré de variation de température corresponde à la même quantité d'énergie. Autrement dit, nous supposons que

ΔEtext = mcΔT, sans se soucier du fait que, comme dans la définition du joule, nous avons

Failed to parse (unknown function\ensuremath): \Delta T=text{21\ensuremath{\,^{\circ}}C{}-20\ensuremath{\,^{\circ}}C{}}

ou, comme dans le présent exemple, une certaine combinaison différente de températures initiale et finale. Pour être cohérent avec la définition du joule, nous devons avoir 

Failed to parse (unknown function\ensuremath): c=text{(1 J)/(0,24 g)/(1\ensuremath{\,^{\circ}}C{})}= 4,2\times10^3

Failed to parse (unknown function\ensuremath): text{J/kg}\,\cdot\ensuremath{\,^{\circ}}C{} , qui représente la chaleur massique de l'eau.

La conservation de l'énergie nous indique que Δ E=0, donc

m₁cΔ T₁+ m₂cΔ T₂ = 0

{}ou

{}Si T₁ doit varier quatre fois plus vite que T₂, et que les deux températures finales sont identiques, alors la température finale doit être de 28°C{}.

Remarquez comment les différences seules, en température et en énergie, apparaissent dans l'exemple précédent. En d'autres termes, nous n'avons pas besoin de faire des hypothèses sur le fait qu'il existe une température à laquelle toute l'énergie thermique d'un objet est retirée. Historiquement, les unités de l'énergie et de la température furent inventées avant qu'on ait montré qu'il existe une telle température, que l'on appelle le zéro absolu. L'échelle Kelvin est une échelle de température dans laquelle l'unité de température est la même que le degré Celsius, mais le point zéro est défini comme étant le zéro absolu. Mais tant que nous avons seulement affaire à des différences de température, il importe peu de savoir si nous utilisons le Kelvin ou le Celsius. De la même façon, tant que nous avons affaire à des écarts en énergie thermique, nous n'avons normalement pas à nous inquiéter de la quantité totale d'énergie thermique que l'objet possède. Dans la terminologie physique standard, la \og chaleur {\fg} est employée uniquement pour se référer aux différences, alors que la quantité totale est désignée sous le nom d'\og énergie thermique {\fg} de l'objet. Cette distinction est souvent omise par les scientifiques dans le langage familier, et dans ce livre j'utiliserai couramment la \og chaleur {\fg} pour désigner les deux quantités.

Nous avons défini l'énergie en ajoutant des éléments sur une liste, que nous avons prolongée au besoin : chaleur, lumière, mouvement, etc. Nous pourrions objecter que cette approche n'est pas esthétique : les physiciens ont tendance à considérer la complexité comme un synonyme de laideur. Si nous devions continuer à ajouter de plus en plus de formes d'énergie à notre liste interminable, alors cela semblerait vouloir dire que l'énergie est désespérément compliquée. Par chance il s'avère qu'elle est plus simple qu'elle ne paraît. De nombreuses formes d'énergie qui sont apparemment sans liens se révèlent être des manifestations distinctes d'un petit nombre de formes ayant lieu au niveau atomique, et c'est le sujet de la section .

”Discussion Questions”

◊

Le philosophe de la Grèce antique Aristote affirmait que les objets tendent \og naturellement {\fg} à ralentir, sauf s'il y a quelque chose qui exerce une poussée sur ceux-ci pour les maintenir en mouvement. Quelle idée importante ignorait-il ?

Difficultés d'ordre logique

Une autre objection possible est que l'approche, qui reste ouverte à la critique, pour définir l'énergie pourrait ressembler à une sorte de duperie, parce que nous avons persisté à en inventer de nouvelles formes à chaque fois que cela était nécessaire. Si une certaine expérience semble violer la conservation de l'énergie, ne pouvons-nous pas simplement concevoir une nouvelle forme d'\og énergie mystérieuse {\fg} invisible pour rafistoler ce problème ? C'est comme si vous contrepassiez vos chèques émis en introduisant une transaction truquée pour faire en sorte que le calcul de votre solde bancaire coïncide avec celui de votre banque. Si nous pouvions tricher de la sorte, alors la conservation de l'énergie ne serait pas testable -- impossible à démontrer ou à réfuter.

En réalité, toutes les théories scientifiques sont non démontrables. Une théorie ne peut jamais être prouvée parce que les expériences ne peuvent recouvrir qu'un nombre fini de situations parmi l'étendue infiniment nombreuse dans laquelle cette théorie est supposée s'appliquer. Même un million d'expériences ne suffiront pas à la démontrer, dans le même sens que le mot \og preuve {\fg} qui est employé en mathématiques. Cependant, une seule expérience qui contredit une théorie est suffisante pour montrer que celle-ci est fausse. Une théorie qui est à l'abri de toute réfutation est une mauvaise théorie, parce qu'il n'existe aucune manière de la tester. Par exemple, si je dis que 23 représente le nombre maximum d'anges qui peuvent danser sur la pointe d'une aiguille, je n'ai pas construit une théorie scientifique réfutable à juste titre, puisqu'il n'existe aucune méthode par laquelle quiconque pourrait essayer même de me démontrer qu'elle est fausse, en se fondant sur des observations ou des expériences.

La conservation de l'énergie est vérifiable parce qu'on s'attend à ce que les nouvelles formes d'énergie arborent un comportement mathématique régulier, et elles sont supposées être reliées d'une manière mesurable aux phénomènes observables. En guise d'exemple, voyons comment étendre le concept d'énergie pour y inclure le mouvement.

\begin{margin}{3}{50}{02}

\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(11.4mm,\paperheight-165.5mm)

\fig{irbike}{Comme dans la figure , un appareil photo infrarouge distingue les zones chaudes et froides. Pendant que le vélo dérape à un stop avec ses freins bloqués, l'énergie cinétique du vélo et du cycliste est convertie en chaleur à la fois sur le sol (haut) et sur le pneu (bas).}{}{ch02/figs}

\end{textblock*}\end{margin}

Énergie cinétique

On appelle l'énergie de mouvement, l'énergie cinétique. (La racine de ce mot est la même que celle du mot \og cinéma {\fg}). Comment l'énergie cinétique d'un objet dépend-il de sa masse et de sa vitesse ? Joule tenta une expérience conceptuellement élémentaire lors de sa lune de miel dans les Alpes près de Chamonix, où il mesura la différence de température qu'il y a entre le haut et le bas d'une chute d'eau. L'eau située en haut de la cascade possède une certaine énergie gravitationnelle, ce qui n'est pas pour l'instant notre sujet d'étude, mais pendant qu'elle chute, cette énergie gravitationnelle est convertie en énergie cinétique, puis alors en énergie thermique à cause de frottements internes dans le bassin tumultueux situé en bas :

Dans le cadre de déduction logique de la présentation de l'énergie de cet ouvrage, la signification de cette expérience est qu'elle fournit une manière de découvrir comment l'énergie cinétique d'un objet dépend de sa masse et de sa vitesse. L'accroissement en énergie thermique devrait être égale à l'énergie cinétique de l'eau juste avant l'impact, donc en principe nous pouvons mesurer la masse, la vitesse et l'énergie cinétique de l'eau, et voir comment elles sont reliées les unes aux autres³.

Bien que ce récit soit pittoresque et remarquable, la plupart des livres qui mentionnent cette expérience omettent de préciser que ce fut un échec ! Le problème c'est que la chaleur n'était pas la seule forme d'énergie qui était libérée. En réalité, la situation ressemblait plus à celle-ci :

Failed to parse (lexing error): \begin{align} \text{énergie gravitationnelle} \rightarrow & \text{énergie cinétique} \\ \rightarrow & \text{énergie thermique} \\ & + \text{énergie sonore} \\ & + \text{énergie d'évaporation partielle} \qquad . \end{align}

\begin{margin}{4}{50}{02}

\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(154.4mm,\paperheight-255.5mm)

\fig{paddlewheelsimple}{Un schéma simplifié de l'expérience de la roue à aubes de Joule.}{}{ch02/figs}

\fig{irball}{Le réchauffement du pneu et du sol dans la figure est quelque chose que le commun des mortels aurait pu prédire à l'avance, mais il existe d'autres situations où ce n'est pas aussi flagrant. Lorsqu'une balle frappe sur un mur, elle ne rebondit pas avec la même quantité d'énergie cinétique. Une partie de l'énergie a-t-elle été détruite ? Non. La balle et le mur se sont réchauffés. Ces photos infrarouges montrent une balle de squash à température ambiante (haut), et après qu'on s'en soit servi au jeu pendant plusieurs minutes (bas), ce qui la rend plus chaude de façon détectable.}{}{\figprefix\chapdir/figs}

\end{textblock*}\end{margin}

La version réussie de cette expérience, indiquée dans les figures et , fait appel à une roue à aubes mise en rotation par une masse suspendue. Comme avec l'expérience de la chute d'eau, celle-ci met en jeu plusieurs types d'énergies, mais la différence est que dans cette situation, elles peuvent toutes être déterminées et prises en considération. (Joule avait même pris la précaution de placer un écran protecteur entre le réservoir d'eau et lui-même, de telle sorte que la lumière infrarouge émise par son corps tiède ne pouvait pas la réchauffer !) Le résultat⁴ donne

Failed to parse (lexing error): K = \frac{1}{2}mv^2 \qquad \text{[énergie cinétique]} \qquad .

\widefig[t]{paddlewheel}{Un dessin réaliste du dispositif de Joule, fondé sur l'illustration de son article original. La roue à aubes est enfermée dans le réservoir du milieu. Joule enroula les deux poids en plomb de 13 kg et les lâcha à 1,6 mètre, réitérant ceci 20 fois afin de produire une variation de température de seulement un demi degré Fahrenheit environ, dans l'eau à l'intérieur du réservoir scellé. Il affirma dans son article être capable de mesurer des températures allant jusqu'à une précision de 1/200ème de degré.}{}{labeled}{ch02/figs}

Chaque fois que vous trouvez une équation comme celle-ci pour la première fois, vous devriez prendre l'habitude de l'interpréter. Tout d'abord, nous pouvons dire qu'en accroissant la masse ou la vitesse, nous obtenons une énergie cinétique plus importante. Cela est logique. Remarquez, cependant, que la masse est exprimée à la première puissance, mais la vitesse à la deuxième. Il est nécessaire par rapport à des considérations théoriques que tout ceci soit proportionnel à la première puissance de la masse, parce que l'énergie est supposée être additive. La dépendance en v² n'aurait pas pu être prédite, mais elle est logique. Par exemple, supposons que nous renversions la direction du mouvement. Cela renverserait le signe de v, parce qu'en une dimension nous utilisons des signes positif et négatif pour représenter la direction du mouvement. Mais puisque dans l'équation c'est v² qui apparaît, l'énergie cinétique résultante demeure inchangée.

Qu'en est-il du facteur 1/2 qui se trouve devant ? Il apparaît que c'est exactement 1/2 par la conception même du système métrique. Si nous avions utilisé l'ancien système technique d'unités des britanniques (qui n'est plus utilisé au Royaume Uni), l'équation aurait été

Failed to parse (unknown function\myunit): K=(7,44\times10^{-2}\ \myunit{Btu}\cdot\text{s}^2/\myunit{slug}\cdot\myunit{ft}^2)mv^2 . La version du système métrique appelé le SI⁵, dans lequel tout est basé sur des unités en kilogrammes, mètres et secondes, possède non seulement la constante numérique égale à 1/2, mais fait également qu'elle ne possède pas d'unité. Autrement dit, nous pouvons imaginer le joule simplement comme une abréviation, 1 J=1 kg⋅m²/s². Des exemples plus familiers de ce type d'abréviations sont 1 minute=60 s, et l'unité métrique de l'aire d'une parcelle, 1 hectare=

.

Example 2: Ergs et joules

◊

On peut dire qu'il existe deux systèmes d'unités métriques qui ont été couramment utilisés, que l'on désigne par mks et cgs. Le système mks, désormais appelé le SI, est fondé sur le mètre, le kilogramme et la seconde. Le système cgs, qui est maintenant obsolète, était basé sur le centimètre, le gramme et la seconde. Dans le système cgs, l'unité de l'énergie n'est pas le joule mais l'erg, 1 erg=1

Failed to parse (unknown function\myunit): \myunit{g}\cdot\myunit{cm}^2/\myunit{s}^2 . Combien y-a-t-il d'ergs dans un joule ?

◊

L'approche la plus simple consiste à traiter les unités comme si c'était des symboles algébriques.

Failed to parse (unknown function\cdottext): \begin{align} text{1 J} &= 1\ \frac{text{kg}\cdottext{m}^2}{text{s}^2} \\ &= 1\ \frac{text{kg}\cdottext{m}^2}{text{s}^2} \times \frac{text{1000 g}}{text{1 kg}} \times \left(\frac{text{100 cm}}{text{1 m}}\right)^2 \\ &= 10^7\ \frac{text{g}\cdottext{cm}^2}{text{s}^2} \\ &= 10^7\ text{erg} \end{align}

Example 3: Air dans la cabine d'un avion à réaction

◊

Un avion à réaction navigue typiquement à une vitesse de 270 m/s. L'air extérieur est continuellement pompé dans la cabine, mais doit d'abord être refroidi, à la fois parce que (1) il se réchauffe à cause des frottements qui se produisent lorsqu'il pénètre dans les moteurs, et (2) il est chauffé par l'effet secondaire de sa compression dans la pression de la cabine. Calculez l'augmentation de température due au premier effet. La chaleur spécifique de l'air sec est d'environ 1,0×10³

Failed to parse (unknown function\ensuremath): text{J/kg}\cdot\ensuremath{\,^{\circ}}C{} .

◊

Il est plus facile d'appréhender cela dans le référentiel de l'avion, dans lequel l'air qui s'engouffre dans les moteurs est stoppé, et son énergie cinétique convertie en chaleur⁶. La conservation de l'énergie nous indique que

Dans le référentiel de l'avion, la vitesse initiale de l'air est v_i=270 m/s, et sa vitesse finale est nulle, donc la variation de son énergie cinétique est négative,

En supposant que la chaleur spécifique de l'air est approximativement indépendante de la température (ce qui explique pourquoi ce nombre fut cité avec le mot \og environ {\fg}), nous pouvons substituer dans 0 = Δ K+Δ E_chaleur, donnant

Remarquez comment la masse disparaît. C'est un énorme avantage de la résolution des problèmes en commençant avec l'algèbre, et en attendant le dernier moment avant de remplacer par les valeurs numériques. Avec une méthode purement numérique, nous n'aurions même pas su quelle valeur de m il fallait mettre, ou si nous avions deviné une valeur comme 1 kg, nous n'aurions pas su si notre réponse dépendait de cette supposition.

En isolant Δ T, et en écrivant v à la place de v_i pour simplifier, nous trouvons

Les passagers seraient cuits vivants s'il n'y avait pas de réfrigération. La première étape de refroidissement s'effectue via des échangeurs à chaleur situés dans les supports des moteurs, mais une deuxième étape, qui fait appel à un réfrigérateur situé sous le plancher de la cabine, est également nécessaire. Le fonctionnement de ce réfrigérateur consomme du carburant, ce qui diminue l'efficacité énergétique de l'avion, c'est typiquement pourquoi 50\,% seulement de l'air de la cabine est remplacé dans chaque cycle de pompage de 2-3 minutes. La compagnie aérienne fait généralement remarquer que c'est un taux de remplacement beaucoup plus fréquent que celui des systèmes de ventilation de la plupart des bâtiments, mais les gens sont plus étroitement rassemblés dans un avion.

Puissance

La puissance P est définie comme étant le taux de variation de l'énergie, dE/dt. La puissance est par conséquent exprimée en joules par seconde, que nous notons généralement comme des watts, 1 W=1 J/s. Puisque l'énergie est conservée, nous aurions dE/dt=0 si E représentait l'énergie totale d'un système fermé, et cela ne serait pas vraiment intéressant. Ce qui est généralement plus intéressant à considérer c'est soit le flux de puissance qui entre ou qui sort d'un système ouvert, soit la cadence à laquelle l'énergie est transformée d'une forme en une autre. L'exemple qui suit représente le flux d'énergie qui circule dans un système ouvert.

Example 4: Réchauffement par une ampoule électrique

◊

La compagnie d'électricité vous facture l'énergie en unités de kilowatt-heures (des kilowatts multipliés par des heures) au lieu des unités du SI en joules. Combien de joules constituent un kilowatt-heure ?

◊

1 kilowatt-heure = (1 kW)(1 heure) = (1\;000 J/s)(3\;600 s) = 3,6 MJ.

Maintenant, voici un exemple d'énergie transformée d'une forme en une autre.

Example 5: Consommation humaine en watts

◊

L'alimentation contient de l'énergie chimique (que nous discutons plus en détail dans la section ), et pour des raisons historiques, l'énergie alimentaire est normalement exprimée dans les unités non SI de Calories. Une Calorie avec une lettre \og C {\fg} capitale est égale à 1\;000 calories, et 1 calorie est définie comme valant 4,18 J. Une personne ordinaire consomme 2\;000 Calories en aliments chaque jour, et convertit presque tout cela directement en chaleur corporelle. Comparez la production de chaleur d'une personne au taux de consommation énergétique d'une ampoule de 100 watts.

◊

À strictement parler, nous ne pouvons pas vraiment calculer la dérivée d E/d t, parce que nous ne savons pas comment le métabolisme de la personne absorbe et rejette l'énergie tout au long d'une journée. Ce que nous pouvons réellement calculer c'est Δ E/Δ t, qui représente la puissance moyenne sur une période d'une journée.

En convertissant en joules, nous trouvons Δ E=8×10⁶ J pour la quantité d'énergie transformée en chaleur à l'intérieur de nos corps en une journée. De même, La conversion de la durée en unités du SI donne Δ t=9×10⁴ s. En divisant l'un par l'autre, nous découvrons que notre puissance est de 90 J/s = 90 W, soit à peu près la même chose qu'une ampoule électrique.

Énergie gravitationnelle

L'énergie gravitationnelle, à laquelle j'ai déjà fait allusion, est différente de la chaleur et de l'énergie cinétique sous un plan fondamental. La chaleur et l'énergie cinétique sont des propriétés d'un objet unique, tandis que l'énergie gravitationnelle décrit une interaction entre deux objets. Lorsque le patineur des figures et se trouve en haut de la piste, sa distance à la masse de la planète Terre est plus importante. Puisque nous observons que son énergie cinétique décroît au fur et à mesure qu'il monte, il doit y avoir une certaine autre forme d'énergie qui est en augmentation. Nous avons inventé une nouvelle forme d'énergie, appelée énergie gravitationnelle, et notée U ou U_g, qui dépend de la distance entre son corps et la planète. Où cette énergie se trouve-t-elle ? Ce n'est pas dans le corps du patineur, et ce n'est pas non plus à l'intérieur de la Terre, puisqu'il faut les invoquer tous les deux dans cette situation. Si l'un ou l'autre des objets n'existait pas, il n'y aurait aucune interaction ou aucune manière de mesurer une distance, donc il n'y aurait aucun sens à discuter d'une énergie qui dépend de la distance. De même que le mariage est une relation qui unit deux individus, l'énergie gravitationnelle est une relation entre deux objets.

\begin{margin}{5}{0}{02}

\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(11.4mm,\paperheight-205.5mm)

\fig{skaterphoto}{Un patineur à roulette s'élève jusqu'au bord d'une piscine vide puis redescend.}{}{\figprefix\chapdir/figs}

\fig{skaterline}{La somme des énergies cinétique et gravitationnelle est constante.}{}{ch02/figs}

\end{textblock*}\end{margin}

Il n'existe pas de moyen précis pour définir la distance entre le patineur et la Terre, parce que ce sont tous les deux des objets qui possèdent une taille finie. Comme nous l'explorerons plus en détail dans la section , la gravité est l'une des forces fondamentales de la nature, c'est une attraction universelle entre deux particules quelconques qui possèdent une masse. Chaque atome situé dans le corps du patineur est à une distance bien définie de chaque atome de la Terre, mais chacune de ces distances est distincte des autres. Un atome situé dans son pied est à quelques centimètres seulement de certains des atomes situés du côté carrelé de la piscine, mais la grosse majorité des atomes de la Terre sont à des milliers de kilomètres de celui-ci. En théorie, nous devrions additionner la contribution à l'énergie gravitationnelle de chaque interaction entre un atome situé dans l'organisme du patineur et un atome de la Terre.

Pour la présente discussion, cependant, il existe un procédé nettement plus simple et plus pratique pour résoudre les problèmes. Dans toutes les régions à la surface de la Terre, il existe une direction que l'on nomme \og vers le bas {\fg}, que nous pouvons caractériser en lâchant une pierre ou en suspendant un fil à plomb. Dans la figure , le patineur se déplace de bas en haut en une dimension, et si nous effectuons des mesures de son énergie cinétique, telles que les données arbitraires mentionnées sur la figure, nous pouvons en déduire son énergie gravitationnelle. Tant que nous demeurons dans l'étendue relativement réduite des hauteurs, nous remarquons que l'énergie gravitationnelle d'un objet augmente à un taux constant avec la hauteur. Autrement dit, l'intensité de la gravité ne change pas beaucoup si vous vous déplacez de bas en haut de quelques mètres seulement. Nous découvrons également que l'énergie gravitationnelle est proportionnelle à la masse de l'objet considéré. En notant y la hauteur, et g cette constante générale de proportionnalité, nous obtenons

Failed to parse (lexing error): \begin{array}{cr} U_g=mgy \qquad . & \text{[énergie gravitationnelle, $y$ = hauteur, s'applique} \\ & \text{uniquement à une étendue réduite des hauteurs]} \end{array}

Ce nombre g, exprimé en joules par kilogramme par mètre, est appelé le champ gravitationnel. Il nous indique l'intensité de la gravité dans une certaine région de l'espace. Près de la surface de notre planète, il possède une valeur d'environ 9,8

Failed to parse (unknown function\gravunit): \gravunit , ce qui est commode car proche de 10

Failed to parse (unknown function\gravunit): \gravunit

pour les calculs approximatifs.

Example 6: Vitesse en fin d'une chute

◊

Si le patineur dans la figure chute de 3 mètres en partant du repos, quelle est sa vitesse au fond de la piscine ?

◊

En partant de la conservation de l'énergie, nous avons

Failed to parse (lexing error): \begin{align} 0 &= \Delta E \\ &= \Delta K +\Delta U \\ &= K_f - K_i + U_f - U_i \\ &= \frac{1}{2} m { v_f }^2 + mgy_f - mgy_i & \text{(parce que $K_i$=0)} \\ &= \frac{1}{2} m { v_f }^2 + mg \Delta y \qquad , & \text{($\Delta y<$0)} \intertext{donc} v &= \sqrt{-2 g \Delta y} \\ &= \sqrt{-text{(2)(10\ J/kg}\unitdot{}text{m)(}-text{3 m)}} \\ &= text{8 m/s} & \text{(arrondi à un chiffre significatif)} \end{align}

Il y a deux choses importantes à remarquer concernant cet exemple. Premièrement, nous avons été capable de manipuler l'équation de telle sorte qu'elle ne fasse ressortir que Δy, au lieu de y lui-même. En d'autres termes, nous n'avons pas besoin de nous soucier de savoir où se trouve le point y=0, n'importe quel système de coordonnées fera l'affaire, tant que l'axe positif y pointe vers le haut, et non vers le bas. Il n'y a pas de surprises. L'énergie gravitationnelle peut toujours être modifiée en ajoutant une constante dans celle-ci, sans affecter le résultat final, tant que vous restez cohérent dans un problème donné.

L'autre élément intéressant est que la masse s'annule : même si le patineur grossissait ou attachait des masses en plomb à lui-même, sa vitesse au fond serait toujours de 8 m/s. Il n'y a pas de surprises, là non plus. C'est la même conclusion que nous avons dressée dans la section , fondée sur l'équivalence entre les masses gravitationnelle et inertielle. L'énergie cinétique est fonction de la masse inertielle, tandis que l'énergie gravitationnelle est reliée à la masse gravitationnelle, mais puisque ces deux quantités sont identiques, nous pouvons employer un seul symbole m pour les représenter, et ainsi les annuler.

Nous pouvons voir à partir de l'équation

que la vitesse d'un objet qui chute n'est pas constante. Elle augmente au fur et à mesure que l'objet chute. Qu'en est-il de son accélération ? Si nous supposons que le frottement de l'air est négligeable, l'argumentation de la section montre que l'accélération ne peut pas dépendre de la masse de l'objet, donc il n'y a pas vraiment d'autres quantités dont l'accélération pourrait dépendre, en plus de g. En réalité, l'accélération d'un objet en chute libre est égale à -g (dans un système de coordonnées où l'axe positif des y est dirigé vers le haut), comme nous pouvons facilement le montrer en utilisant le théorème de dérivation des fonctions composées :

où j'ai calculé dv/dK comme 1/(dK/dv), et dK/dU=-1 peut être retrouvé en dérivant

K + U = (constante) pour donner dK+dU=0⁷.

On peut également vérifier que les unités de g,

Failed to parse (unknown function\gravunit): \gravunit , sont équivalentes aux unités de l'accélération,

Failed to parse (unknown function\unitdot): \frac{\text{J}}{\text{kg}\unitdot\text{m}} = \frac{\text{kg}\unitdot\text{m}^2/\text{s}^2} {\text{kg}\unitdot\text{m}} \\ = \frac{\text{m}}{\text{s}^2} \qquad ,

et par conséquent l'intensité du champ gravitationnel à proximité de la surface de la Terre peut à juste titre être évaluée à 10 m/s².

Example 7: Vitesse au bout d'une durée déterminée

◊

Un objet chute à partir du repos. Quelle est la vitesse de son déplacement au bout de deux secondes ? Supposez que la quantité d'énergie convertie en chaleur par le frottement de l'air est négligeable.

◊

Dans l'hypothèse formulée, nous avons a=- g, qui peut être intégré pour donner v=- gt+constante. Si nous posons t=0 comme étant l'instant du début de la chute, alors la constante d'intégration est nulle, donc à

nous avons

Failed to parse (unknown function\timestext): v=- gt=-text{(10 m/s}^2text{)}\timestext{(2 s)}=text{20 m/s} .

Example 8: Le vol parabolique

◊

L'armée de l'air américaine possède un avion qui permet d'effectuer ce que l'on appelle couramment un vol parabolique, dans lequel les apprentis astronautes peuvent ressentir la simulation de l'apesanteur. En simplifiant à l'extrême, imaginez que l'avion vole très haut puis alors chute directement vers le sol comme une pierre. (Il vole en réalité en suivant une parabole.) Puisque les passagers chutent avec la même accélération que l'avion, la sensation est précisément la même que celle que vous auriez si vous échappiez au champ gravitationnel de la Terre. Si l'avion peut partir à 10 km de hauteur, quelle est la durée maximale de cette chute libre ?

◊

D'après les données sur l'accélération et la distance, nous voulons trouver la durée. L'accélération est la dérivée seconde de la distance, donc si nous intégrons deux fois l'accélération par rapport au temps, nous pouvons découvrir comment la position est reliée au temps. Par commodité, choisissons un système de coordonnées dans lequel l'axe positif des y est dirigé vers le bas, donc a=g au lieu de - g.

En choisissant notre système de coordonnées nous avons y=0 à t=0, nous pouvons faire en sorte que la deuxième constante d'intégration soit également nulle, soit

Failed to parse (unknown function\cdottext): \begin{align} t &= \sqrt{\frac{2 y}{ g}} \\ &= \sqrt{\frac{2\cdottext{10000 m}}{text{10 m/s}^2}} \\ &= \sqrt{text{2000\ s}^2} \\ &= text{40\ s} & \text{(à un chiffre significatif)} \end{align}

Remarquez que si nous n'avions pas converti l'altitude en mètres, nous aurions obtenu une mauvaise réponse, mais nous aurions été averti de ce problème parce que les unités situées dans la racine carrée n'auraient pas été des s². En général, il est préférable de convertir toutes vos données en unités du SI (mètre-kilogramme-seconde) avant que vous fassiez quoi que ce soit avec elles.

Example 9: Trajectoire principale, trajectoire secondaire

◊

Dans la figure , que pouvez-vous dire concernant les vitesses des billes lorsqu'elles atteignent le point B, en vous fondant sur la conservation de l'énergie ? Qu'est-ce que la conservation de l'énergie vous indique sur le fait de savoir quelle bille arrive la première ? Supposez que le frottement ne transforme pas l'énergie mécanique en énergie thermique ou sonore.

◊

Puisqu'on suppose que le frottement est négligeable, il n'existe que deux formes d'énergie impliquées ici : celles cinétique et gravitationnelle. Comme les deux billes partent du repos, et qu'elles perdent la même quantité d'énergie gravitationnelle, elles doivent avoir la même énergie cinétique à l'arrivée, et par conséquent elles roulent à la même vitesse lorsqu'elles parviennent au point B. (Une observation subtile fait remarquer que les billes possèdent de l'énergie cinétique à la fois parce qu'elles se déplacent dans l'espace et parce qu'elles tournent pendant qu'elles roulent. Ces deux types d'énergie doivent être en proportion fixée l'une par rapport à l'autre, de telle sorte que ceci n'affecte pas la conclusion.)

\begin{margin}{6}{-10}{02}

\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(11.4mm,\paperheight-215.5mm)

\fig{highlow}{Deux billes sont au repos, puis roulent de A à B en suivant des trajectoires distinctes.}{}{ch02/figs}

\end{textblock*}\end{margin}

La conservation de l'énergie ne nous dit rien de flagrant, cependant, sur le fait de savoir quelle bille arrive la première. C'est un problème général avec l'application des lois de conservation : celles-ci ne se réfèrent pas directement au temps, puisqu'elles sont des propositions qui déclarent que quelque chose demeure constant à tout moment dans le temps. Nous nous attendons intuitivement à ce que la bille qui emprunte la rampe inférieure parvienne à B la première, puisqu'elle gagne de la vitesse plus vite.

\myeqnspacing

Example 10: Flottabilité

◊

Une boîte cubique de masse m et de volume V= b³ est plongée dans un fluide de densité ρ. Quelle quantité d'énergie est nécessaire pour l'élever d'une hauteur Δ y ?

◊

Lorsque la boîte monte, elle remplit un volume V'= b²Δ y précédemment occupé par une partie du fluide, et celui-ci s'écoule dans un volume identique qui est devenu vacant en dessous. L'abaissement de cette quantité de fluide d'une hauteur b diminue l'énergie gravitationnelle de celui-ci de ρ V' gb=ρ g b³Δ y, donc la variation nette en énergie est

Autrement dit, c'est comme si la masse de la boîte avait été réduite d'une quantité égale à celle du fluide qui aurait sinon occupé ce volume. On appelle cela le principe d'Archimède, et cela reste vrai même si la boîte n'est pas un cube, nous détaillerons cependant la démonstration plus générale à la page du chapitre . Si la boîte est moins dense que le fluide, alors elle flottera.

\begin{margin}{7}{20}{02}

\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(154.4mm,\paperheight-255.5mm)

\fig{buoyancy}{Quelle quantité d'énergie est nécessaire pour soulever la boîte immergée d'une hauteur Δ y ?}{}{\figprefix\chapdir/figs}

\fig{seesaw}{Une balançoire.}{}{ch02/figs}

\fig{biceps}{Le muscle biceps est un levier inversé.}{}{ch02/figs}

\end{textblock*}\end{margin}

Example 11: Un dispositif élémentaire

◊

Si le père et son fils situés sur la balançoire dans la figure sont au repos, que va-t-il se passer ?

◊

Remarquez que bien que le père soit deux fois plus gros, il se trouve à la moitié de la distance du point d'appui. Si la balançoire commençait à tourner, elle devrait perdre de l'énergie gravitationnelle afin de gagner de l'énergie cinétique. Néanmoins, il lui est impossible de gagner ou de perdre de l'énergie gravitationnelle en tournant dans l'une ou l'autre direction. La variation en énergie gravitationnelle serait

mais Δ y₁ et Δ y₂ possèdent des signes opposés et sont en proportion de deux pour un, parce que le fils se déplace le long d'un arc de cercle qui fait le même angle que celui de son père mais ce dernier fait la moitié du rayon. Par conséquent Δ U=0, et il n'existe aucune manière permettant à la balançoire de troquer de l'énergie gravitationnelle contre de l'énergie cinétique.

L'exemple de la balançoire est une preuve du principe du levier, qui est l'un des dispositifs mécaniques élémentaires que l'on connaît sous le nom de machines simples. Comme nous le discuterons plus en détail dans les chapitres et , ce principe s'applique même lorsque les interactions concernées ne sont pas gravitationnelles.

Remarquez que même si un levier est conçu de telle sorte qu'il est plus facile de soulever une lourde charge, elle réduit également la distance parcourue par cette charge. En inversant le levier, nous pouvons faire en sorte que la charge parcourt une distance plus importante, au détriment de l'augmentation de la quantité de force requise. Le système musculaire et squelettique humain fait usage de leviers inversés de ce type, ce qui nous permet de nous déplacer plus rapidement, et rend aussi nos corps plus compacts, au détriment de la force brute. Un piano utilise des leviers inversés de telle sorte qu'une quantité infime de mouvement de la clé produit une oscillation plus grande du marteau. Un autre exemple intéressant concerne le vérin hydraulique indiqué dans la figure . L'analyse en terme d'énergie gravitationnelle est exactement la même que pour la balançoire, mis à part que la relation entre Δy₁ et Δy₂ est maintenant déterminée non pas par la géométrie mais par la conservation de la masse : puisque l'eau est hautement incompressible, la conservation de la masse est approximativement équivalente à l'exigence d'un volume constant, laquelle ne peut être satisfaite que si la distance parcourue par chaque piston est en proportion inverse de l'aire de sa section.

”Discussion Questions”

◊

La puissance hydroélectrique (écoulement de l'eau à travers un barrage pour entraîner des turbines) s'avère être complètement libre. Celle-ci viole-t-elle la conservation de l'énergie ? Si non, alors quelle est la source finale de l'énergie électrique produite par une centrale hydroélectrique ?

◊

Vous lancez une bille en acier en l'air. Comment pouvez-vous démontrer, en vous fondant sur la conservation de l'énergie, qu'elle possède la même vitesse lorsqu'elle revient dans votre main ? Qu'en est-il si vous aviez lancé une plume ? L'énergie n'est-elle pas conservée dans cette situation ?

◊

La figure montre un pendule qui est relâché en A et retenu par une cheville au moment où il franchit la verticale, en B. À quelle hauteur la masse s'élevera-t-elle vers la droite ?

◊

Qu'est-ce qui est faux dans les définitions de g qui suivent ?

(a) \og g est la gravité. {\fg}

(b) \og g est la vitesse d'un objet qui chute. {\fg}

(c) \og g est l'intensité à laquelle la gravité tire sur les choses. {\fg}

\begin{margin}{8}{50}{02}

\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(11.4mm,\paperheight-245.5mm)

\fig{pendulumandpeg}{Question .}{}{ch02/figs}

\end{textblock*}\end{margin}

Équilibre et stabilité

\begin{margin}{9}{50}{02}

\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(11.4mm,\paperheight-155.5mm)

\fig{hydraulic}{Un vérin hydraulique.}{}{ch02/figs}

\fig{equilibrium}{Les surfaces sont exemptes de frottement. Les blocs noirs sont en équilibre.}{}{ch02/figs}

\end{textblock*}\end{margin}

La balançoire de la figure est en équilibre, ce qui signifie que si elle est initialement au repos, elle le demeurera. On appelle cela un équilibre indifférent, au sens où la balançoire ne possède aucune position de prédilection qu'elle occupera si on la perturbe. Si nous la déplaçons à une position différente et que nous la relâchons, elle restera encore au repos. Si nous la mettons en mouvement, elle persistera tout simplement dans son mouvement jusqu'à ce que le pied d'une personne touche le sol.

La plupart des objets autour de nous sont en équilibre stable, comme le bloc noir dans la figure -3. Même si ce bloc est déplacé ou mis en mouvement, il oscillera autour de sa position d'équilibre. Les images sont à l'instar de graphes où y est fonction de x, mais puisque l'énergie gravitationnelle U=mgy est proportionnelle à y, nous pouvons aussi plus simplement les imaginer comme des graphes de U en fonction de x. La position d'équilibre stable du bloc représente l'emplacement où la fonction U(x) possède un minimum local. Le livre que vous êtes en train de lire est en équilibre, mais l'énergie gravitationnelle n'est pas la seule forme d'énergie impliquée. Pour le déplacer vers le haut, nous avons besoin de lui fournir de l'énergie gravitationnelle, mais un mouvement vers le bas nécessitera un type d'énergie différent, afin de comprimer encore plus la table. (Comme nous le verrons dans la section , c'est l'énergie électrique due aux interactions entre les atomes qui constituent la table.)

Les extrema locaux d'une fonction dérivable sont rencontrés lorsque sa dérivée est nulle. Une position où dU/dx est nul peut être un équilibre stable (3), indifférent (2) ou instable (4). Un équilibre instable s'apparente à un crayon que l'on tient en équilibre sur sa mine. Bien qu'il pourrait théoriquement demeurer en équilibre ainsi pour toujours, il tombera en réalité à la moindre perturbation, comme un courant d'air ou la vibration due à un camion qui passe à proximité. C'est une définition mathématique technique de l'instabilité, qui est plus restrictive que la manière dont ce mot est employé dans le langage familier. La plupart des gens décriraient un domino qui se tient debout comme étant instable, mais dans l'usage technique il serait considéré comme stable, parce qu'une certaine quantité finie d'énergie est nécessaire pour le renverser, et des perturbations plus petites que celle-ci ne l'entraînerait que dans un mouvement d'oscillation autour de sa position d'équilibre.

Le domino est également un exemple intéressant parce qu'il possède deux minima locaux, un pour lequel il est debout, et l'autre pour lequel il est couché. Un minimum local qui n'est pas le minimum global, comme dans la figure -5, est considéré comme étant un équilibre métastable.

Example 12: Eau dans un tube en forme de U

◊

Notons A l'aire de la section du tube en forme de U dans la figure , et ρ la densité de l'eau située à l'intérieur. Exprimez l'énergie gravitationnelle comme une fonction de la quantité y indiquée dans la figure, et montrez qu'un équilibre est atteint lorsque y=0.

◊

Cette question est un peu ambiguë, parce que l'énergie gravitationnelle n'est bien définie qu'à une constante additive près. Pour déterminer cette constante, définissons U comme étant égal à zéro quand y=0. La différence entre U(y) et U(0) est l'énergie qui serait nécessaire pour transvaser une colonne d'eau d'une hauteur y en dehors du côté droit, et pour la placer au dessus de la ligne pointillée, du côté gauche, l'élevant ainsi d'une hauteur y. La colonne d'eau possède une hauteur y et l'aire de sa base est A, donc son volume est Ay, sa masse est ρ Ay et l'énergie requise est mgy=(ρ Ay) gy=ρ gAy². Nous avons alors U( y)= U(0)+ρ gAy²=ρ gAy².

\begin{margin}{10}{15}{02}

\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(154.4mm,\paperheight-155.5mm)

\fig{utube}{Eau dans un tube en forme de U.}{}{\figprefix\chapdir/figs}

\end{textblock*}\end{margin}

Pour trouver l'équilibre, nous recherchons des emplacements où la dérivée d U/d y=2ρ gAy est égale à 0. Comme nous nous y attendons intuitivement, le seul équilibre se produit à y=0. L'examen de la dérivée seconde indique que c'est un minimum local (non un maximum ou un point d'inflexion), donc c'est un équilibre stable.

Prédire la direction du mouvement

L'énergie cinétique ne dépend pas de la direction du mouvement. Parfois cela s'avère utile, comme dans l'exemple des trajectoires principale et secondaire (p. , exemple ), où nous avons été capable de prédire que les billes auraient les mêmes vitesses finales, bien qu'elles ont suivi des trajectoires distinctes et qu'elles se déplaçaient dans des directions différentes à la fin. En général, cependant, les deux lois de conservation que nous avons rencontré jusqu'ici ne sont pas suffisantes pour prédire la trajectoire spatiale d'un objet, nous aurons besoin pour cela de la conservation de la quantité de mouvement (chapitre ), et du concept mathématique de vecteur. Avant que nous développions ces idées de manière générale, il sera toutefois utile de résoudre une paire d'exemples élémentaires, y compris un pour lequel nous obtiendrons une distance parcourue importante dans la section .

Imaginez que nous observions un galet d'air hockey qui glisse sans frottement vers la droite à une vitesse v, et que nous voulons prédire son mouvement ultérieur. Puisqu'il n'y a pas de frottement, aucune portion de l'énergie cinétique n'est convertie en chaleur. La seule forme d'énergie concernée est l'énergie cinétique, donc la conservation de l'énergie, ΔE=0, devient tout simplement ΔK=0. Il n'existe aucune raison particulière pour que le galet ne fasse rien sinon que de persévérer dans son mouvement vers la droite à vitesse constante, mais il serait tout aussi cohérent avec la conservation de l'énergie qu'il décide spontanément d'inverser sa direction de mouvement, modifiant sa vitesse en -v. Dans les deux situations, nous aurons ΔK=0. Il existe néanmoins un indice qui nous montre quel mouvement est physiquement raisonnable et lequel n'est pas physique. Supposez que nous considérons à nouveau cette situation dans le référentiel qui se déplace initialement vers la droite en même temps que le galet. Dans ce référentiel, le galet commence avec K=0. Ce que nous avons décrit plus haut comme un renversement de sa vitesse de v en -v représente, dans ce nouveau référentiel, un changement d'une vitesse nulle à -2v, ce qui violerait la conservation de l'énergie. Autrement dit, le mouvement physiquement possible conserve l'énergie dans tous les référentiels, tandis que le mouvement non physique ne conserve l'énergie que dans un référentiel particulier.

\begin{margin}{11}{0}{02}

\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(11.4mm,\paperheight-95.5mm)

\fig{cliff}{Une voiture roule sur une falaise.}{}{\figprefix\chapdir/figs}

\end{textblock*}\end{margin}

En guise de deuxième exemple, nous considérons une voiture qui roule sur le bord d'une falaise (). Pour simplifier, nous supposons que le frottement de l'air est négligeable, donc seules les énergies cinétique et gravitationnelle entrent en jeu. La voiture suit-elle la trajectoire 1, familière dans les dessins animés de Bip Bip, la trajectoire 2, une parabole, ou 3, une ligne diagonale ? Toutes les trois pourraient vérifier la conservation de l'énergie, dans le référentiel attaché au sol. Par exemple, la voiture pourrait avoir une énergie gravitationnelle constante le long du segment horizontal initial de la trajectoire 1, donc pendant cette durée elle devrait aussi maintenir son énergie cinétique à une valeur constante. Cependant, seule une parabole reste cohérente avec la conservation de l'énergie combinée avec la relativité galiléenne. Considérez le référentiel qui se déplace horizontalement à la même vitesse que celle à laquelle le véhicule franchit le bord du précipice. Dans ce référentiel, la falaise glisse sous la voiture initialement immobile. Cette dernière ne peut pas ainsi planer pendant un certain temps, donc la trajectoire 1 est à bannir. En refaisant la même opération mathématique que dans l'exemple à la p. , nous obtenons

dans ce référentiel, où les astérisques indiquent que les coordonnées sont mesurées dans le référentiel en mouvement. Ces coordonnées sont reliées aux coordonnées attachées au sol (x,y) par les équations

où v représente la vitesse d'un référentiel par rapport à l'autre. Nous avons par conséquent

dans notre référentiel de départ. En substituant t, nous pouvons voir que cette expression est de la forme de celle d'une parabole :

self-check:

À quoi ressemblerait le mouvement du véhicule dans le référentiel * s'il suivait la trajectoire 3 ?

(answer in the back of the PDF version of the book)

Techniques Numériques

Les élèves ingénieurs représentent la majorité des étudiants qui suivent un type de cours de physique pour lequel ce livre est destiné, donc il est fort probable que vous tombiez dans cette catégorie. Même si vous reconnaîtrez certainement que la physique constitue une discipline importante dans votre formation, si jamais vous aviez connaissance de la manière dont les ingénieurs travaillent réellement, vous resteriez probablement sceptique vis à vis du goût pour la résolution de problèmes que l'on enseigne dans la plupart des cours de sciences. Vous réaliseriez qu'il n'y a pas beaucoup de calculs pratiques d'ingénieurs qui tombent dans l'intervalle restreint des problèmes pour lesquels une solution exacte peut être calculée à l'aide d'une feuille de papier et d'un crayon aiguisé. Les problèmes de la vie courante sont généralement complexes, et ils ont typiquement besoin d'être résolus par un traitement des données sur un ordinateur, même si nous pouvons souvent mieux l'appréhender en effectuant des approximations élémentaires qui possèdent des solutions algébriques. La résolution numérique des problèmes est non seulement plus utile dans la vie réelle, elle possède également une valeur pédagogique. Comme un élève débutant en physique, ce n'est qu'après que j'eusse travaillé sur ces deux méthodes, en utilisant l'algèbre puis un programme informatique, que j'ai vraiment eu l'impression d'avoir compris le mouvement d'un projectile. (C'était à l'époque où les mémoires de 64 kilo-octets étaient fortement prisées.)

Dans cette section, nous allons commencer en examinant comment appliquer les techniques numériques à certains problèmes simples pour lesquels nous connaissons la réponse sous sa \og forme exacte {\fg}, c'est-à-dire une unique expression algébrique ne faisant pas appel à des calculs infinitésimaux ou des sommes infinies. Après cela, nous résoudrons un problème qui vous aurait rendu mondialement célèbre si vous aviez pu l'effectuer au XVIIème siècle en utilisant une feuille et un stylo à plume ! Avant de continuer, vous devriez lire l'Annexe à la page qui donne une introduction au langage de programmation Python.

Résolvons tout d'abord le problème trivial consistant à découvrir combien de temps est nécessaire à un objet se déplaçant à une vitesse v pour parcourir une distance en ligne droite dist. La réponse sous forme exacte est, bien évidemment, dist/v, mais l'objectif est d'introduire les techniques que nous pouvons mettre en {\oe}uvre pour résoudre d'autres problèmes de ce type. L'idée fondamentale consiste à diviser la distance en n parties égales, et à additionner le temps requis pour parcourir toutes ces parties. La fonction Python qui suit fait ce travail. Remarquez que vous ne devez pas saisir les numéros des lignes à gauche, et vous n'avez pas besoin de taper les commentaires, non plus. J'ai omis les invites de commandes >>> et ... afin d'économiser de la place.

import math

def time1(dist,v,n):

x=0 # On initialise la position.

dx = dist/n # On divise dist en n parts égales.

t=0 # On initialise la durée.

for i in range(n):

x = x+dx # On fait varier x.

dt=dx/v # durée=distance/vitesse

t=t+dt # On sauvegarde la durée écoulée.

return t

Combien de temps faut-il pour se déplacer de 1 mètre à une vitesse constante de 1 m/s ? Si nous faisons ceci,

>>> time1(1.0,1.0,10) # dist, v, n

0.99999999999999989

{}Python produit le résultat attendu en divisant la distance en en dix segments égaux de 0,1 mètre, et en ajoutant les dix durées de 0,1 seconde requise pour parcourir chacun d'eux. Puisque l'objet se déplace à vitesse constante, il importe peu de savoir si nous positionnons n à 10, 1 ou un million :

>>> time1(1.0,1.0,1) # dist, v, n

1.0

Effectuons maintenant un exemple où la réponse n'est pas évidente pour les gens qui ne connaissent pas le calcul infinitésimal : combien de temps faut-il à un objet pour chuter d'une hauteur h, en partant du repos ? Nous savons d'après l'exemple à la page que la réponse exacte, découverte en faisant appel au calcul infinitésimal, est

. Vérifions si nous pouvons reproduire numériquement cette réponse. La principale différence entre ce programme et le précédent est que maintenant la vitesse n'est pas constante, donc nous avons besoin de la recalculer au fur et à mesure de l'avancement. La conservation de l'énergie donne mgh=(1/2)mv²+mgy pour la vitesse v à une hauteur y, donc

. (Nous optons pour la racine négative parce que l'objet se déplace vers le bas, et notre système de coordonnées a son axe positif y qui est dirigé vers le haut.)

import math

def time2(h,n):

g=9.8 # Champ gravitationnel.

y=h # On initialise la hauteur.

v=0 # On initialise la vitesse.

dy = -h/n # On divise h en n parts égales.

t=0 # On initialise la durée.

for i in range(n):

y = y+dy # On fait varier y. (Notez que dy<0.)

v = -math.sqrt(2*g*(h-y)) # d'après la cons. de l'energie.

dt=dy/v # dy et v sont <0, donc dt est >0.

t=t+dt # On sauvegarde la durée écoulée.

return t

Pour h=1.0 m, la forme exacte du résultat est

. Lorsque la chute est partagée en 10 intervalles seulement de hauteurs identiques, la technique numérique fournit une approximation plutôt grossière :

>>> time2(1.0,10) # h, n

0.35864270709233342

Mais en augmentant n jusqu'à dix mille, nous obtenons une réponse qui est aussi précise que nous le souhaitons, compte tenu de la précision limitée des données de départ :

>>> time2(1.0,10000) # h, n

0.44846664060793945

Un point subtil est que nous avons changé la valeur de y à la ligne 9, puis alors nous avons calculé v à la ligne 10, qui dépend de y. Puisque y ne varie que d'un dix-millième de mètre seulement à chaque itération, vous pourriez penser que ceci ne fait pas une grosse différence, et vous auriez presque raison, excepté pour un petit problème : si nous interchangeons les lignes 9 et 10, alors la toute première fois que la boucle s'exécute, nous aurons v=0, ce qui engendrerait une erreur de division par zéro lors du calcul de dt ! En vérité, ce qui serait le plus logique serait de calculer la vitesse à une hauteur y et la vitesse à une hauteur y+dy (rappelez-vous que dy est négatif), de faire une moyenne de ces deux nombres puis d'utiliser cette valeur en y pour calculer la meilleure estimation de la vitesse entre ces deux points. Comme l'accélération est constante dans l'exemple considéré, cette modification aboutit à un programme qui donne un résultat exact même pour n=1 :

import math

def time3(h,n):

g=9.8

y=h

v=0

dy = -h/n

t=0

for i in range(n):

y_old = y

y = y+dy

v_avg = -(math.sqrt(2*g*(h-y_old))+math.sqrt(2*g*(h-y)))/2.

dt=dy/v_avg

t=t+dt

return t

>>> time3(1.0,1) # h, n

0.45175395145262565

Nous sommes dorénavant prêts à affronter un problème qui mit au défi les meilleurs esprits d'Europe à l'époque où les ordinateurs n'existaient pas. En 1696, le mathématicien Johann Bernoulli exposa la célèbre question qui suit. Étant initialement au repos, un objet glisse sans frottement sur une courbe reliant le point (a,b) au point (0,0). De toutes les formes possibles qu'une telle courbe pourrait avoir, laquelle permet à l'objet de rejoindre sa destination en le temps le plus court possible, et combien de temps lui faut-il ? La courbe optimale est appelée la courbe brachistochrone, du grec \og le temps le plus court {\fg}. La solution au problème de la courbe brachistochrone échappa à Bernoulli lui-même, ainsi qu'à Leibniz, qui a été l'un des concepteurs du calcul infinitésimal. Le physicien anglais Isaac Newton, cependant, se coucha plus tard une nuit après avoir passé sa journée à administrer la Monnaie royale, et selon la légende, trouva une solution algébrique à quatre heures du matin. Il la publia alors de façon anonyme, mais on dit que Bernoulli l'avait remarquée lorsqu'il en prit connaissance, il reconnut immédiatement d'après le style qu'elle était de Newton -- il pouvait \og reconnaître le lion d'après la marque de ses griffes {\fg}.

Plutôt que d'essayer d'obtenir une solution algébrique exacte, comme le fit Newton, nous produirons un résultat numérique pour l'allure de cette courbe et le temps minimum, dans le cas particulier où a=1,0 m et b=1,0 m. Intuitivement, nous cherchons à démarrer avec une chute assez abrupte, parce que la vitesse que nous pouvons atteindre au départ nous aidera tout au long du reste du mouvement. D'un autre côté, nous pouvons exagérer cette idée à l'extrême : si nous chutons en ligne droite sur toute la distance verticale, puis que nous effectuons un virage à angle droit afin de parcourir la distance horizontale, le temps de 0,68 s qui en résulte est un peu plus long que le résultat optimal, l'explication étant que cette trajectoire est inutilement longue. Il existe un nombre infiniment grand de courbes possibles pour lesquelles nous pourrions calculer cette durée, mais portons notre attention sur les polynômes du troisième degré,

y = c₁x+c₂x²+c₃x³ ,

où nous exigeons que c₃=(b-c₁a-c₂a²)/a³ afin de faire en sorte que la courbe passe par le point (a,b). Le programme Python ci-dessous, ressemble beaucoup à celui que nous avons réalisé auparavant. La fonction ne requiert que deux valeurs c₁ et c₂, et évalue elle-même c₃ à la ligne 4. Puisque le mouvement est bidimensionnel, nous devons calculer la distance entre un point et le suivant en utilisant le théorème de Pythagore, à la ligne 16.

import math

def timeb(a,b,c1,c2,n):

g=9.8

c3 = (b-c1*a-c2*a**2)/(a**3)

x=a

y=b

v=0

dx = -a/n

t=0

for i in range(n):

y_old = y

x = x+dx

y = c1*x+c2*x**2+c3*x**3

dy = y-y_old

v_avg = (math.sqrt(2*g*(b-y_old))+math.sqrt(2*g*(b-y)))/2.

ds = math.sqrt(dx**2+dy**2) # th. de Pythagore.

dt=ds/v_avg

t=t+dt

return t

\begin{margin}{12}{0}{02}

\begin{textblock*}{\marginfigwidth}(154.4mm,\paperheight-255.5mm)

\fig{brachgraph}{Approximations de la courbe brachistochrone en utilisant un polynôme du troisième degré (ligne entière), et un polynôme du septième degré (pointillés). Cette dernière ne se rapproche du temps optimal que de quatre millisecondes.}{}{\figprefix\chapdir/figs}

\end{textblock*}\end{margin}

Au premier abord, nous pouvons essayer une ligne droite diagonale, y=x, ce qui correspond à poser c₁=1, et tous les autres coefficients à zéro. Le résultat donne un temps plutôt long :

>>> a=1.

>>> b=1.

>>> n=10000

>>> c1=1.

>>> c2=0.

>>> timeb(a,b,c1,c2,n)

0.63887656499994161

Ce dont nous avons réellement besoin, c'est d'une courbe qui est très abrupte à droite et plus douce à gauche, donc il serait en fait plus logique de tenter y=x³ :

>>> c1=0.

>>> c2=0.

>>> timeb(a,b,c1,c2,n)

0.59458339947087069

C'est une amélioration significative, et elle se révèle être à un centième de seconde seulement du temps le plus court possible ! Il est possible, bien que ce ne soit pas très pédagogique ni amusant, de trouver de meilleures approximations à la courbe brachistochrone en tripatouillant manuellement avec les coefficients du polynôme. Le point crucial de cette discussion était de donner un exemple de problème non trivial qui peut être abordé avec succès à l'aide des techniques numériques. J'ai trouvé la première approximation indiquée dans la figure ,

y = (0,62)x+(-0,93)x²+(1,31)x³

en utilisant le programme listé dans l'annexe à la page , qui permet de rechercher automatiquement la courbe optimale. L'approximation du septième degré indiquée dans la figure provient d'une extrapolation directe de ce même programme.

Footnotes